§ 6. Пространственно-временные спектральные разложения случайных полей

До сих пор мы отвлекались от временной зависимости случайных полей с тем, чтобы оттенить особенности, обусловленные зависимостью полей от нескольких пространственных координат и отсутствующие у однопараметрических случайных функций.

Конечно, при учете зависимости случайных полей также от времени возникает ряд новых возможностей в отношении различных комбинаций пространственных и временных статистических свойств поля (стационарности по t, однородности по и разных видов отклонений от стационарности и однородности), о чем мы уже упоминали в § 1. Однако использование четырехмерных (пространственно-временных) гармонических разложений с формальной стороны осуществляется довольно очевидным образом и соответствующие обобщения вряд ли требуют подробного описания. Мы приведем лишь некоторые наиболее важные соотношения и формулы, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Запишем для флуктуаций одномерного случайного поля четырехмерное спектральное разложение:

где — -амплитуда (точнее, амплитудная плотность) поля, иногда обозначаемая . В отличие от ч. I, где в гармонических разложениях процессов вводился временной фактор в данной части книги зависимость от времени мы будем описывать множителем так как при рассмотрении волновых явлений удобнее оперировать с пространственным гармоническим множителем , а не . В связи с этим при использовании тех или иных комплексных выражений из ч. I надо заменять в них на

У однородного и стационарного случайного поля спектральные амплитуды дельта-коррелированы как по так и по k:

Здесь — пространственно-временной спектр поля (или -плотность), который всегда неотрицателен. Иногда представляют этот спектр в виде следует помнить, что это лишь иное обозначение множителя при дельта-фуикциях.

Пространственно-временная корреляционная функция связана с -плотностью преобразованием Фурье:

    (6.3)

(обобщение теоремы Хинчина). Обратное преобразование Фурье:

    (6.4)

В случае четной корреляционной функции, , экспоненту в этих разложениях можно заменить на .

Через -плотность можно выразить как пространственный , так и временной (частотный) спектры случайного поля:

В качестве примера рассмотрим поле с так называемыми «замороженными» неоднородностями, т. е. поле, в котором все временные изменения обусловлены только перемещением пространственных возмущений с постоянной скоростью V. Если покоящееся однородное случайное поле описывается пространственной корреляционной функцией , то при нерелятивистских значениях скорости и тогда

Подставляя (6.7) в (6.4), находим простую связь между -плотностью «замороженного» поля и пространственной спектральной плотностью покоящегося поля :

При помощи (6.5) и (6.8) легко убедиться, что

т. е. пространственные спектры полей совпадают. Что же касается временного спектра флуктуаций то из (6.6) и (6.8) находим

где — продольная и поперечная (по отношению к вектору скорости v) составляющие волнового вектора к. Выражение (6.10) упрощается в случае изотропного поля когда . Переходя в (6.10) к полярным координатам и вводя вместо новую переменную интегрирования получаем

Дифференцируя (6.11) по , нетрудно выразить пространственный спектр замороженного изотропного поля через частотный спектр

Формулы типа (6.11) и (6.12) часто используются при анализе полей, которые можно с достаточной точностью считать замороженными.

Сказанное выше относительно спектральных разложений одномерных полей легко переносится на многомерное поле . Наиболее простыми свойствами обладают поля однородные и однородно связанные (в широком смысле) в пространстве .

В случае векторного поля элементы корреляционной матрицы трансформируются при ортогональных преобразованиях координат как компоненты -мерного тензора второго ранга, т. е. можно говорить о корреляционном тензоре векторного поля. Для однородных и изотропных векторных полей доказан ряд изящных теорем, часть которых сформулирована в задачах 8—10.

Разложение многомерного случайного поля в интеграл Фурье имеет вид, аналогичный (6.1); при этом для однородного и стационарного ноля выполняется равенство

которое естественно приводит к обобщению теоремы Хинчнна на многомерные пространственно-временные поля;

с обратным преобразованием

Корреляционная матрица многомерного поля положительно определена. Отсюда вытекает, что диагональные компоненты матрицы -плотности вещественны и неотрицательны: Недиагональные же элементы в общем случае комплексны.

Отметим теперь следующее существенное обстоятельство. Область интегрирования по и к в разложениях Фурье самих полей, равно как и их корреляционных функций (6.3) и (6.14), вообще говоря, четырехмерна. Но в том случае, когда рассматриваемые поля удовлетворяют некоторым динамическим уравнениям (в частности, волновым уравнениям) в однородной и стационарной среде, свободной от источников (т. е. сами уравнения однородны), то уже не независимы, а подчинены так называемому дисперсионному уравнению:

Это уравнение следует из требования, чтобы плоская монохроматическая волна была собственной волной, т. е. была частным решением динамических уравнений.

Говоря на геометрическом языке, дисперсионное уравнение описывает в пространстве некую трехмерную гиперповерхность — дисперсионную поверхность, — которая может быть и многолистной (например, в анизотропной среде). Вне точек этой гиперповерхности -амплитуды полей равны нулю, а значит, равны нулю и спектральные плотности в (6.3) и (6.14). Другими словами, содержат множителем дельта-функцию и, соответственно, снижается кратность интегралов Фурье: они распространяются фактически только, на дисперсионную поверхность (всю или ее участки), т. е. на и , удовлетворяющие дисперсионному уравнению. Уже в следующей главе мы непосредственно столкнемся с этим обстоятельством.

В тех случаях, когда стационарное поле является, как функция от t, эргодическим (ч. I, § 20), угловые скобки в предыдущих выражениях можно трактовать (в смысле вероятностной сходимости) как усреднение по времени, т. е. считать, например, что для произвольной детерминированной функции практически справедливо равенство

причем для получения средних по ансамблю путем временного усреднения можно с достаточной точностью ограничиваться конечными Т, существенно превышающими время корреляции

Наряду с эргодичностью по времени, можно ввести понятие пространственной и пространственно-временной эргодичности. Так, для однородных пространственно эргодических полей средние по ансамблю «совпадают» в смысле сходимости по вероятности со средними по пространству. Практически это означает, что для произвольной детерминированной функции можно считать справедливым равенство

где V — пространственная область, по которой ведется усреднение. Предельный переход опять-таки может быть приостановлен на областях V, поперечник которых L велик по сравнению с радиусом корреляции , т. е. выполняется

неравенство, аналогичное (6.18):

О пространственно-временной эргодичности стационарных и однородных полей говорят тогда, когда имеет место сходимость но вероятности как при , таки при что практически означает одновременное выполнение равенств (6.17) и (6.19). Возможны также случаи, когда поле является эргоднческим только по части пространственных аргументов, например только в плоскости или только на поверхности сферы.

Наконец, иногда удобно пользоваться понятием квазиэргодических полей, которые находятся по отношению к эргодическим полям в таком же положении, как квазиоднородные поля по отношению к однородным. Иными словами, эти поля являются эргодическими лишь в объемах, малых по сравнению с характерными масштабами L изменения статистических характеристик поля (среднего значения, дисперсии и т. д.). В отличие от (6.19), область пространственного усреднения для квазиэргодических нолей должна быть ограничена сверху масштабом но при этом должно по-прежнему выполняться неравенство (6.20). Следовательно, о квазиэргодичности полей можно говорить лишь ггри таких условиях, когда можно ввести объем усреднения V, который удовлетворял бы двухстороннему неравенству

В феноменологической физике V называют обычно «физически бесконечно малым объемом». Этот объем должен быть, с одной стороны, достаточно малым, чтобы в его пределах исследуемые поля были статистически однородными (в механике и электродинамике сплошных сред обычно требуется лишь постоянство в объеме V средних полей), а с другой — настолько большим, чтобы в пределах V поле испытывало достаточно много пространственных флуктуаций.

В физике сплошных сред под следует понимать среднее расстояние между источниками возмущений, которыми могут быть отдельные молекулы, дислокации, вкрапления и т. д. Если — концентрация молекул (или других возмущающих объектов), то и тогда неравенство принимает вид , что и отвечает большому числу молекул в физически бесконечно малом объеме V. При выполнении этого неравенства усреднение по ансамблю молекул можно заменять усреднением по малой пространственной области V. Таким образом, в макроскопической физике существенно используется предположение о пространственной квазиэргодичности тех или иных полей, характеризующих состояние сплошных сред.