15.6.1. Теорема Джинса

Уравнение (15.24) — дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка в переменных . Уравнения движения (15.18) можно переписать в форме

Стандартным методом уравнения (15.24) является метод Лагранжа. Уравнения (15.28) образуют 6 независимых уравнений, так что число интегралов (15.28) равно шести. В общем случае они имеют форму

    (15.29)

где — постоянные. Тогда общее решение дифференциального уравнения в частных производных (15.24) представляет собой произвольную функцию этих шести интегралов, т. е.

    (15.30)

где F — произвольная функция

Отсюда видно, что фазовая плотность оказывается постоянной вдоль траектории звезды в фазовом пространстве; она является также функцией шести величин, которые остаются постоянными вдоль траектории звезды в фазовом пространстве. В этом и состоит теорема Джинса. С учетом уравнения (15.30) также видно, что координаты и компоненты скорости входят в выражение для фазовой плотности только в комбинациях, которыми являются интегралы движения.

Существует дальнейшее ограничение на фазовую плотность f. В гравитирующей системе с потенциалом U, определяемым самой системой, во всех точках системы должно удовлетворяться уравнение Пуассона. Если — масса на единицу объема в точке , то уравнение Пуассона можно записать в виде

Предполагая снова, что все звезды имеют одинаковые массы , мы с помощью (15.16) приходим к результату, что число звезд на единицу объема пространства оказывается функцией звездной плотности v, определяемой выражением

Тогда что дает

    (15.31)