§ 11. Производная и интеграл матрицы

Пусть функциональная матрица типа класса т. е. функции непрерывно дифференцируемы в некотором интервале Тогда под производной (см. [1]) понимается матрица

Употребляется также обозначение

Если соответствующие матричные действия имеют смысл, то справедливы следующие соотношения:

1) если С — постоянная матрица, то

Далее, пусть неособенная матрица и ее обратная матрица, Имеем

Дифференцируя это равенство, получаем

Отсюда

Приведем еще одну формулу дифференцирования. Пусть V — скалярное произведение

Учитывая, что

имеем

Укажем еще один результат. Пусть -матрида и

Имеем

В частности, если коммутирует со своей производной т. е.

то получаем

Пусть

и матричный ряд

сходится при а ряд производных

сходится равномерно на т. е. все функциональные ряды

равномерно сходятся на Тогда при справедлива формула

Доказательство проводится аналогично скалярному случаю. В частности формула (1.11.1) верна, если

где ряд сходится.

Если матрица то при и определяется ее интеграл (см. [1])

Используя понятие предела матрицы, интеграл матрицы можно определить через предельный переход

где

Справедливы следующие свойства:

2) если -постоянная матрица, то

3) если

4) если

(формула интегрирования по частям);

Действительно, в силу свойства 3) нормы матрицы для любой конечной суммы имеем

Отсюда, переходя к пределу при и учитывая непрерывность нормы, получаем формулу (1.11.2).

В дальнейшем иногда придется рассматривать вектор-функции

компоненты которых зависят от нескольких переменных Если то под производной такой функции по вектору х понимается матрица Якоби

Если мы имеем сложную функцию

где

причем непрерывно дифференцируемы, то согласно правилу дифференцирования сложной функции получаем (см. [7])

Отсюда, используя правило умножения матриц, будем иметь

т. е.