§ 11. Производная и интеграл матрицы
Пусть
функциональная матрица типа
класса
т. е. функции
непрерывно дифференцируемы в некотором интервале
Тогда под производной (см. [1]) понимается матрица
Употребляется также обозначение
Если соответствующие матричные действия имеют смысл, то справедливы следующие соотношения:
1) если С — постоянная матрица, то
Далее, пусть
неособенная матрица и
ее обратная матрица, Имеем
Дифференцируя это равенство, получаем
Отсюда
Приведем еще одну формулу дифференцирования. Пусть V — скалярное произведение
Учитывая, что
имеем
Укажем еще один результат. Пусть
-матрида
и
Имеем
В частности, если
коммутирует со своей производной
т. е.
то получаем
Пусть
и матричный ряд
сходится при
а ряд производных
сходится равномерно на
т. е. все функциональные ряды
равномерно сходятся на
Тогда при
справедлива формула
Доказательство проводится аналогично скалярному случаю. В частности формула (1.11.1) верна, если
где ряд
сходится.
Если матрица
то при
и
определяется ее интеграл (см. [1])
Используя понятие предела матрицы, интеграл матрицы можно определить через предельный переход
где
Справедливы следующие свойства:
2) если
-постоянная матрица, то
3) если
4) если
(формула интегрирования по частям);
Действительно, в силу свойства 3) нормы матрицы для любой конечной суммы имеем
Отсюда, переходя к пределу при
и учитывая непрерывность нормы, получаем формулу (1.11.2).
В дальнейшем иногда придется рассматривать вектор-функции
компоненты которых
зависят от нескольких переменных
Если
то под производной такой функции по вектору х понимается матрица Якоби
Если мы имеем сложную функцию
где
причем
непрерывно дифференцируемы, то согласно правилу дифференцирования сложной функции получаем (см. [7])
Отсюда, используя правило умножения матриц, будем иметь
т. е.