§ 12. Экспоненциал матрицы
Пусть 
квадратная матрица порядка 
Определение. Под экспоненциалом квадратной матрицы X понимается матричная функция
Матричный ряд (1.12.1) сходится для любой квадратной матрицы X и притом абсолютно. Действительно, составляя соответствующий ряд норм, будем иметь
что и доказывает наше утверждение.
В частности, на основании формулы (1.12.2), используя 1 или II нормы, где 
имеем
Пусть матрицы 
перестановочны, т. е.
Докажем основное свойство экспоненциала матрицы
Действительно, в силу абсолютной сходимости разложения (1.12.1) имеем
Положим
тогда
и, следовательно,
где
— число сочетаний из 
элементов по 
Так как матрицы 
перестановочны, то
Отсюда на основании формул (1.12.4) и (1.12.1) получаем
что и требовалось доказать.
Из формулы (1.12.3), в частности, находим
Отметим еще одно свойство экспоненциала матрицы. Если 
квадратная матрица, подобная матрице X, т. е.
то имеем
т. е.
