§ 12. Экспоненциал матрицы

Пусть квадратная матрица порядка Определение. Под экспоненциалом квадратной матрицы X понимается матричная функция

Матричный ряд (1.12.1) сходится для любой квадратной матрицы X и притом абсолютно. Действительно, составляя соответствующий ряд норм, будем иметь

что и доказывает наше утверждение.

В частности, на основании формулы (1.12.2), используя 1 или II нормы, где имеем

Пусть матрицы перестановочны, т. е.

Докажем основное свойство экспоненциала матрицы

Действительно, в силу абсолютной сходимости разложения (1.12.1) имеем

Положим

тогда

и, следовательно,

где

— число сочетаний из элементов по Так как матрицы перестановочны, то

Отсюда на основании формул (1.12.4) и (1.12.1) получаем

что и требовалось доказать.

Из формулы (1.12.3), в частности, находим

Отметим еще одно свойство экспоненциала матрицы. Если квадратная матрица, подобная матрице X, т. е.

то имеем

т. е.