Макеты страниц § 6. Общие теоремы об устойчивости линейных дифференциальных системРассмотрим линейную дифференциальную систему
где
— соответствующая однородная система. Определение 1. Линейную систему (2.6.1) будем называть устойчивой (или вполне неустойчивой), если все ее решения Замечание. Как мы увидим ниже, решения линейных дифференциальных систем либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы. Подобная терминология не применима к нелинейным дифференциальным системам, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми. Теорема 1. Для устойчивости линейной системы (2.6.1) при любом свободном члене Доказательство. 1) Докажей сначала необходимость условия теоремы. Пусть
если только
Но, как известно,
является решением линейной однородной системы (2.6.2), причем любое ее решение Таким образом, неравенства (2.6.3) и (2.6.4) эквивалентны следующим:
если только Отсюда вытекает, что тривиальное решение Замечание 1. Из доказательства следует, что устойчивость тривиального решения 2) Докажем теперь достаточность условия теоремы. Пусть тривиальное решение
то
Следовательно, если
будет вытекать неравенство
А это и значит, что решение Следствие 1. Линейная дифференциальная система устойчива, когда устойчиво хотя бы одно решение этой системы, и вполне неустойчива, если неустойчиво некоторое решение ее. Это утверждение непосредственно вытекает из теоремы 1 и замечания 1 к ней Следствие 2. Линейная неоднородная дифференциальная система устойчива тогда и только тогда, когда устойчива соответствующая однородная дифференциальная система. Замечание 2. Таким образом, поведение решений линейной неоднородной системы (2.6.1) с любым свободным членом Действительно, для неоднородной системы (2.6.1) поле интегральных кривых
где
соответствующей однородной системы (2.6.2); разница только та, что в первом случае «ось»
Рис. 7.
Рис. 8. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением устойчивости лишь однородных линейных дифференциальных систем. Определение 2. Линейную дифференциальную систему (2.6.1) назовем равномерно устойчивой, если все решения Теорема 2. Линейная дифференциальная система (2.6.1) равномерно устойчива тогда и только тогда, когда тривиальное решение Доказательство проводится с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые были применимы при доказательстве теоремы 1. Определение 3. Линейную дифференциальную систему (2.6.1) назовем асимптотически устойчивой, если все решения Теорема 3. Линейная дифференциальная система (2.6.1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда тривиальное решение Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из того обстоятельства, что разность двух решений линейной неоднородной системы есть решение соответствующей однородной системы (формула (2.6.5)). Следствие. Для асимптотической устойчивости линейной неоднородной дифференциальной системы (2.6.1) при любом свободном члене
|
Оглавление
|