§ 11. Леммы Гронуолла — Беллмана и Бихар
В дальнейшем будет выгодно использовать две леммы об интегральных неравенствах (см. [6], [18]).
Лемма Гронуолла — Беллмана. Пусть 
при 
причем при 
выполнено неравенство
где с — положительная постоянная. В таком случае при 
имеем
Доказательство. Из неравенства (2.11.1; получаем
и
Так как
то, интегрируя неравенство (2.11.3) в пределах от 
до 
будем иметь
Отсюда, используя неравенство (2.11.1), получаем 
что и требовалось доказать.
Замечание. Переходя в формулах (2.11.1) и (2.11.2) к пределу при 
убеждаемся, что лемма остается верной, если постоянная 
Обобщение леммы Гронуолла — Беллмана. Пусть непрерывная положительная функция и 
для любых значений 
удовлетворяет интегральному неравенству
где 
при 
Тогда при 
справедлива двусторонняя оценка
Доказательство. Из неравенства (2.11.4) при 
имеем
Отсюда на основании леммы Гронуолла — Беллмана получаем
Аналогично из неравенства (2.11.4) при 
находим
Отсюда, используя метод доказательства леммы Гронуолла — Беллмана, будем иметь
и
Интегрируя последнее неравенство в пределах от 
до 
получим
т. е.
Заменяя теперь 
на 
из последнего неравенства при 
находим
и, следовательно,
Полагая 
в неравенствах (2.11.6) и (2.11.7), получим оценку (2.11.5).
Приведем еще одну лемму, обобщающую лемму Гронуолла — Беллмана.
Лемма Бихари (см. [18]). Пусть 
при 
причем и 
и имеет место неравенство
где с — положительная постоянная и 
положительная непрерывная неубывающая функция при 
и пусть
Тогда, если
то при 
справедливо неравенство
где 
функция, обратная 
В частности, если 
то неравенство (2.11.11) выполнено без всяких ограничений.
Доказательство. В силу возрастания функции 
из неравенства (2.11.8) получаем
Отсюда
Интегрируя неравенство (2.11.12) по 
в пределах от до 
при 
будем иметь
Пусть
тогда
Следовательно, формула (2.11.13) принимает вид
Отсюда на основании формулы (2.11.9), учитывая, что 
и будем иметь
или, так как 
Ввиду того, что
функция 
имеет однозначную непрерывную монотонно возрастающую обратную функцию 
определенную в области 
где 
Поэтому, если
выполнено неравенство (2.11.10), то из неравенства (2.11.14) получаем
Отсюда в силу неравенства (2.11.8) вытекает искомое неравенство (2.11.11).
Следствие 1. Если 
то имеем неравенство Гронуолла — Беллмана (2.11.2).
Следствие 2. Если 
т. е. выполнено неравенство
то
и
при
