Макеты страниц § 23. Неоднородная периодическая системаПусть
где Теорема 1. Если однородная периодическая система
не имеет нетривиальных Доказательство (см. [29]). Используя метод Лагранжа, из уравнения (3.23.1) имеем
где
Отсюда на основании формулы (3.23.3) для
или
Так как в силу условия теоремы вековое уравнение
не имеет корня
следовательно, существует
Таким образом, получаем
На основании формулы (3.23.3) находим периодическое решение
То, что Замечание. Периодическое решение
где
При
при Действительно, из формулы (3.23.5) получаем
Отсюда, учитывая, что
и
будем иметь формулу (3.23.6). Нетрудно проверить, что функция
при Если однородная система (3.23.2) имеет нетривиальные Теорема 2. Пусть линейная однородная 1) сопряженная система
имеет также 2) соответствующая неоднородная система (3.23.1) имеет
независимых 2) Докажем сначала необходимость условий (3.23.9). Пусть
Пусть
и, следовательно,
Но
поэтому
3) Докажем теперь достаточность условий (3.23.9). Пусть условия (3.23.9) выполнены. Тогда, если — собственный вектор матрицы
то
и, следовательно,
Таким образом, система
эквивалентна системе
и, значит, ранги матриц этих систем одинаковы. Отсюда, учитывая, что матрица системы (3.23.14) отличается от матрицы системы (3.23.13) лишь на вектор-строку
Следовательно, в силу теоремы Кронекера-Капелли (гл. I, § 5) система (3.23.12), определяющая начальные условия Теорема доказана. Существование Теорема Массера. Если линейная неоднородная w-периодическая система (3.23.1) имеет ограниченное решение Доказательство. Используя метод вариации произвольной постоянной, ограниченное решение
где
где
Так как ввиду периодичности системы
будем иметь
или, в более общем виде,
Пусть система (3.23.1) не имеет (
реализующая условие периодичности, несовместна и, в частности,
Отсюда в силу известной теоремы алгебры выводим, что существует ненулевой вектор с, являющийся решением сопряженной алгебраической системы
причем этот вектор не ортогонален к правой части системы (3.23.17), т. е.
Из уравнения (3.23.18) получаем
и, значит,
Умножая равенство (3.23.16) справа на с, будем иметь
Отсюда, учитывая соотношение (3.23.20), находим
что противоречит ограниченности решения Следовательно, в наших условиях система (3.23.17) совместна и, таким образом, существует по меньшей мере одно Следствие. Если неоднородная линейная
|
Оглавление
|