§ 23. Неоднородная периодическая система

Пусть

где и непрерывные матрицы с общим периодом

Теорема 1. Если однородная периодическая система

не имеет нетривиальных -периодических решений, т. е. все мультипликаторы ее отличны от единицы то соответствующая неоднородная периодическая система имеет единственное периодическое решение периода

Доказательство (см. [29]). Используя метод Лагранжа, из уравнения (3.23.1) имеем

где нормированная при фундаментальная матрица однородной системы (3.23.2). В силу теоремы единственности решение будет -периодическим тогда и только тогда, когда

Отсюда на основании формулы (3.23.3) для -периодического решения будем иметь

или

Так как в силу условия теоремы вековое уравнение

не имеет корня то

следовательно, существует

Таким образом, получаем

На основании формулы (3.23.3) находим периодическое решение

То, что -периодическое решение единственно, вытекает из того обстоятельства, что разность двух различных -периодических решений неоднородного уравнения (3.23.1) является нетривиальным -периодическим решением однородного уравнения (3.23.2), а последнее в нашем случае исключается.

Замечание. Периодическое решение неоднородной системы (3.23.1) может быть записано в виде (см. [2,9])

где

При

при

Действительно, из формулы (3.23.5) получаем

Отсюда, учитывая, что

и

будем иметь формулу (3.23.6).

Нетрудно проверить, что функция определяемая формулами (3.23.7) и (3.23.7), обладает следующими свойствами:

при Эти свойства однозначно определяют функцию

Если однородная система (3.23.2) имеет нетривиальные -периодические решения (резонансный случай), то соответствующая неоднородная система (3.23.1) допускает -периодическое решение не всегда.

Теорема 2. Пусть линейная однородная -периодическая система (3.23.1) допускает линейно независимых -периодических решений Тогда

1) сопряженная система

имеет также линейно независимых -периодических решений ;

2) соответствующая неоднородная система (3.23.1) имеет -периодические решения тогда и только тогда, когда выполнены условия ортогональности

независимых -периодических решений сопряженной системы (3.23.8).

2) Докажем сначала необходимость условий (3.23.9). Пусть некоторое -периодическое решение неоднородной системы (3.23.1). Из условий -периодичности (см. формулу (3.23.4)) следует, что начальное значение удовлетворяет условию

Пусть некоторое -периодическое нетривиальное решение сопряженной системы (3.23.8). Тогда

и, следовательно,

Но

поэтому

3) Докажем теперь достаточность условий (3.23.9). Пусть условия (3.23.9) выполнены. Тогда, если — собственный вектор матрицы отвечающий единичному мультипликатору т. е.

то

и, следовательно,

Таким образом, система

эквивалентна системе

и, значит, ранги матриц этих систем одинаковы. Отсюда, учитывая, что матрица системы (3.23.14) отличается от матрицы системы (3.23.13) лишь на вектор-строку для ранга системы (3.23.12) будем иметь следующее выражение:

Следовательно, в силу теоремы Кронекера-Капелли (гл. I, § 5) система (3.23.12), определяющая начальные условия -перио-дических решений неоднородной системы (3.23.1), совместна и имеет линейно независимых решений.

Теорема доказана.

Существование -периодических решений линейной периодической системы связано с наличием ограниченных решений ее.

Теорема Массера. Если линейная неоднородная w-периодическая система (3.23.1) имеет ограниченное решение то у этой системы существует w-периодическое решение.

Доказательство. Используя метод вариации произвольной постоянной, ограниченное решение неоднородной системы (3.23.1) можно представить в следующем виде:

где и нормированная фундаментальная матрица однородной системы (3.23.2). Отсюда

где

Так как ввиду периодичности системы есть также решение этой системы, то, используя начальное условие

будем иметь

или, в более общем виде,

Пусть система (3.23.1) не имеет (-периодического решения. Тогда линейная алгебраическая система

реализующая условие периодичности, несовместна и, в частности,

Отсюда в силу известной теоремы алгебры выводим, что существует ненулевой вектор с, являющийся решением сопряженной алгебраической системы

причем этот вектор не ортогонален к правой части системы (3.23.17), т. е.

Из уравнения (3.23.18) получаем

и, значит,

Умножая равенство (3.23.16) справа на с, будем иметь

Отсюда, учитывая соотношение (3.23.20), находим

что противоречит ограниченности решения

Следовательно, в наших условиях система (3.23.17) совместна и, таким образом, существует по меньшей мере одно -периоди-ческое решение неоднородной системы (3.23.1).

Следствие. Если неоднородная линейная -периодическая система не имеет -периодических решений, то все решения этой системы не ограничены как на полуоси так и на полуоси .