§ 6. Теорема Четаева

При формулировке третьей теоремы Ляпунова о неустойчивости (§ 5) предполагается, что производная в силу системы знакоположительна в некоторой полной окрестности начала координат О. Однако для доказательства неустойчивости тривиального решения системы достаточно обнаружить существование хотя бы одной траектории, исходящей из каждой, сколь угодно малой, окрестности точки О и выходящей за пределы фиксированной окрестности. А для этого нет необходимости рассматривать полную окрестность начала координат и, следовательно, условия третьей теоремы Ляпунова можно значительно ослабить. Соответствующее обобщение было произведено Н. Г. Четаевым (см. [15]).

Теорема Четаева. Пусть для приведенной системы (4.3.1) в области существует непрерывно дифференцируемая функция область положительности которой имеет ненулевое открытое сечение примыкающее к началу координат О, для каждого причем на части границы области лежащей внутри цилиндра включая ось выполнено равенство

Тогда, если: 1) функция ограничена в области ) имеет в этой области положительную производную в силу системы (4.3.1), 3) в каждой подобласти справедливо неравенство где некоторое положительное число, зависящее от положительного числа а, то тривиальное решение системы (4.3.1) неустойчиво в смысле Ляпунова при

Доказательство. Пусть произвольно мало. Так как точка О является граничной для открытого сечения то в гиперплоскости существует внутренняя точка такая, что причем (рис. 33).

Докажем, что решение определяемое начальным условием: при возрастающем выйдет за пределы шара Действительно, пусть при В силу условия 2) теоремы

отсюда при получаем

если только Так как решение может покинуть область лишь проходя при некотором внутреннюю часть границы, где причем

то, переходя в этом неравенстве к пределу при будем иметь

что невозможно. Следовательно, решение при целиком лежит в подобласти области Отсюда, на основании условия 3) теоремы, получим

Рис. 33.

Интегрируя почленно неравенство (4.6.2), при будем иметь

Последнее неравенство невозможно, так как в силу условия 1) теоремы функция ограничена в области

Итак, в любой -окрестности точки при найдется некоторое решение покидающее при внутренность шара Таким образом, тривиальное решение неустойчиво по Ляпунову (гл. II, § 1). Теорема доказана.

Замечание. Легко проверить, что для случая Ляпунова (§ 5) при ввиду наличия бесконечно малого высшего предела функции множество обладает всеми указанными выше свойствами.