§ 6. Теорема Четаева
При формулировке третьей теоремы Ляпунова о неустойчивости (§ 5) предполагается, что производная
в силу системы знакоположительна в некоторой полной окрестности начала координат О. Однако для доказательства неустойчивости тривиального решения системы достаточно обнаружить существование хотя бы одной траектории, исходящей из каждой, сколь угодно малой, окрестности точки О и выходящей за пределы фиксированной окрестности. А для этого нет необходимости рассматривать полную окрестность начала координат и, следовательно, условия третьей теоремы Ляпунова можно значительно ослабить. Соответствующее обобщение было произведено Н. Г. Четаевым (см. [15]).
Теорема Четаева. Пусть для приведенной системы (4.3.1) в области
существует непрерывно дифференцируемая функция
область положительности которой
имеет ненулевое открытое сечение
примыкающее к началу координат О, для каждого
причем на части границы области
лежащей внутри цилиндра
включая ось
выполнено равенство
Тогда, если: 1) функция
ограничена в области
) имеет в этой области положительную производную
в силу системы (4.3.1), 3) в каждой подобласти
справедливо неравенство
где
некоторое положительное число, зависящее от положительного числа а, то тривиальное решение системы (4.3.1) неустойчиво в смысле Ляпунова при
Доказательство. Пусть
произвольно мало. Так как точка О является граничной для открытого сечения
то в гиперплоскости
существует внутренняя точка
такая, что
причем
(рис. 33).
Докажем, что решение
определяемое начальным условием:
при возрастающем
выйдет за пределы шара
Действительно, пусть при В силу условия 2) теоремы
отсюда при
получаем
если только
Так как решение
может покинуть область
лишь проходя при некотором
внутреннюю часть границы, где
причем
то, переходя в этом неравенстве к пределу при
будем иметь
что невозможно. Следовательно, решение
при
целиком лежит в подобласти
области
Отсюда, на основании условия 3) теоремы, получим
Рис. 33.
Интегрируя почленно неравенство (4.6.2), при
будем иметь
Последнее неравенство невозможно, так как в силу условия 1) теоремы функция
ограничена в области
Итак, в любой
-окрестности точки
при
найдется некоторое решение
покидающее при
внутренность шара
Таким образом, тривиальное решение
неустойчиво по Ляпунову (гл. II, § 1). Теорема доказана.
Замечание. Легко проверить, что для случая Ляпунова (§ 5) при
ввиду наличия бесконечно малого высшего предела функции
множество
обладает всеми указанными выше свойствами.