§ 8. Лемма о диагонализации переменной матрицы

Лемма. Пусть для квадратной -матрицы существует конечный предел на бесконечности

причем характеристические числа предельной матрицы простые. Тогда при где достаточно велико, существует ограниченная матрица имеющая ограниченную обратную матрицу с помощью которой матрица приводится к диагональному виду

Если, сверх того, матрица и абсолютно интегрируема на т. е. то

Доказательство (см. 6). 1) Для матрицы рассмотрим ее характеристическое уравнение

и пусть корни этого уравнения. Так как собственные числа предельной матрицы различны, то при функции также будут различны, т. е. уравнение (5.8.2) в области со не имеет кратных корней. Дальнейшее рассмотрение мы будем проводить в области Функции будем считать непрерывными ветвями многозначной функции, определяемой уравнением (5.8.2).

Пусть неособенная матрица, приводящая матрицу к диагональному виду, т. е.

где

Так как

то элементы матрицы определяются из системы уравнений

или

где — символ Кронекера.

Если через

обозначить собственные векторы матрицы то систему (5.8.4) сокращенно можно записать следующим образом:

где Таким образом, собственные векторы ортогональны к матрице

Легко видеть, что каждая из матриц при со имеет ранг

Действительно, обозначим через алгебраические дополнения характеристического определителя полученные в результате вычеркивания строки и столбца его. Применяя известное правило дифференцирования определителя, будем иметь

Так как корни простые, то при Следовательно, для каждого корня найдется диагональный минор

где номер вообще говоря, зависит от Число для которого выполнено неравенство (5.8.6), можно выбрать не зависящим от Действительно в силу непрерывности алгебраических дополнений и корней если для некоторого выполнено неравенство

то при этом же будут справедливы также неравенства

где достаточно велико. Но определитель является минором порядка матрицы и, значит, эта матрица имеет ранг

Из линейной алгебры известно, что тогда ненулевые решения системы (5.8.5) пропорциональны соответствующим алгебраическим дополнениям:

где Выбрав равным единице коэффициент пропорциональности в этих отношениях, получим

причем построенные таким образом векторы линейно независимы при

Таким образом, в качестве элементов матрицы приводящей матрицу к диагональному виду, можно взять целые рациональные функции характеристических корней и элементов матрицы

и, следовательно,

Пусть и ее характеристические корни. При имеем

и, следовательно,

Рис. 54.

Так как корни простые, то при где достаточно велико, корни будут содержаться внутри кругов комплексной плоскости X (рис. 54), попарно расположенных вне друг друга. Отсюда при имеем

и, следоватетьно, из формулы (5.8.8) выводим

где через здесь и в дальнейшем обозначены некоторые положительные постоянные. Далее, предельные значения собственных векторов

являются, очевидно, собственными векторами предельной матрицы причем ввиду их линейной независимости имеем

Отсюда

Так как

то из неравенств (5.8.10) и (5.8.11) получаем

2) Пусть теперь Так как корни простые, то существуют непрерывные производные которые можно определить из уравнений

Ввиду того, что

Кроме того, имеем

Отсюда, учитывая формулу (5.8.8) и неравенства (5.8.9), из формулы (5.8.13) получаем

Следовательно, если то

На основании формулы (5.8.8) при будем иметь

Поэтому

и Наконец, в силу неравенства (5.8.11), мы получаем также

Лемма доказана.

Замечание. Из доказательства следует, что если матрица имеет абсолютно интегрируемую на производную то ее характеристические корни обладают также абсолютно интегрируемыми на производными

Ограниченную неособенную матрицу имеющую обратную матрицу с теми же свойствами для краткости, будем называть регулярной на

Следствие. Переменную матрицу имеющую предел на бесконечности с простыми собственными значениями, с помощью регулярной матрицы в области (где достаточно велико) можно привести к диагональному виду.

Если матрица абсолютно интегрируема на то матрицы и также абсолютно интегрируемы на