Так как
то в силу неравенства Коши — Буняковского (см. [51.1) находим
Следовательно,
Переходя к пределу при
в последнем неравенстве, очевидно, получим неравенство (7.3).
Если
то, как обычно, вводим расстояние
полагая
Из свойств нормы следует, что если
то
1)
причем
тогда и только тогда, когда
;
2)
(симметрия);
3)
(неравенство треугольника). Следовательно, пространство п. п. функций
представляет собой линейное метрическое пространство (см. гл. V, § 5).
Определение 4. Две функции
называются ортогональными, если
Функция
называется нормированной, если
т. е.
Рассмотрим континуальную систему чистых колебаний
где X — произвольное действительное число
Очевидно,
причем при
функция
имеет период
Лемма. Совокупность чистых колебаний
образует ортогональную и нормированную систему, короче, ортонормированную систему, в пространстве почти периодических функций
т. е.
где
символ Кронекера:
Доказательство. Имеем
Так как
то из формулы (7.5) вытекает соотношение (7.4).