§ 7. Пространство почти периодических функций

Определение 1. Совокупность всех п. п. функций где будем называть пространством п. п. функций.

Если - любые комплексные числа, то Поэтому пространство линейное.

Если то сопряженная функция (§ 2). Следовательно, существует среднее значение

Определение 2. Под скалярным произведением функции понимается число

Из формулы (7.1) следует, что для скалярного произведения выполнены обычные свойства:

1) , причем тогда и только тогда, когда

3) (a - комплексное число);

Определение 3. Под нормой функции понимается неотрицательное число

Введенная норма (определение 3) обладает всеми обычными свойствами нормы:

1) для имеем причем тогда и только тогда, когда (в силу теоремы 3 из § 6);

2) , в частности,

3) для справедливо неравенство

Действительно, при любом имеем

Так как

то в силу неравенства Коши — Буняковского (см. [51.1) находим

Следовательно,

Переходя к пределу при в последнем неравенстве, очевидно, получим неравенство (7.3).

Если то, как обычно, вводим расстояние полагая

Из свойств нормы следует, что если то

1) причем тогда и только тогда, когда ;

2) (симметрия);

3) (неравенство треугольника). Следовательно, пространство п. п. функций представляет собой линейное метрическое пространство (см. гл. V, § 5).

Определение 4. Две функции называются ортогональными, если

Функция называется нормированной, если т. е.

Рассмотрим континуальную систему чистых колебаний где X — произвольное действительное число Очевидно,

причем при функция имеет период

Лемма. Совокупность чистых колебаний образует ортогональную и нормированную систему, короче, ортонормированную систему, в пространстве почти периодических функций т. е.

где символ Кронекера:

Доказательство. Имеем

Так как

то из формулы (7.5) вытекает соотношение (7.4).