670. Специальные поля.

В этом и следующем п° для простоты мы ограничимся рассмотрением полей, связанных с прямоугольными пространственными областями, в частности со всем трехмерным пространством.

1) Потенциальное поле. Векторное поле А называется потенциальным, если существует скалярная величина для которой

А служит градиентом:

Это равенство распадается на следующие три [см. (4)]:

и равносильно утверждению, что выражение является полным дифференциалом от функции Первообразная функция называется потенциальной функцией (или скалярным потенциалом) поля А.

Перефразируя уже известное нам [564 и 641; см. условия можно сказать, что для того чтобы поле А было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялись равенства

т. е. чтобы обращался в нуль.

Таким образом, понятие потенциального поля оказывается совпадающим с понятием «безвихревого» поля.

Опираясь на сказанное в п° 564 и 641, можно охарактеризовать потенциальное поле и тем, что циркуляция по простому замкнутому контуру всегда будет нулем, а линейный интеграл по кривой, соединяющей любые две точки поля, оказывается не зависящим от формы кривой.

Сама потенциальная функция с точностью до произвольного постоянного слагаемого, определяется линейным интегралом

взятым от некоторой фиксированной точки до переменной точки М рассматриваемой области по любой соединяющей эти точки кривой

Все эти факты получают естественное истолкование в терминах работы для случая потенциального силового поля. Таким будет, как известно, поле ньютоновского притяжения как в случае отдельных притягивающих центров, так и при непрерывном распределении притягивающих масс.

2) Соленоидальное поле. Векторное поле А называется соленоидальным, или трубчатым (от греческого слова — трубка), если существует векторная величина В, для которой А служит вихрем:

Это равенство распадается на следующие три [см. (9)]:

Сам вектор В называют векторным потенциалом поля А.

Докажем теперь следующую теорему, дающую легко проверяемое условие соленоидальности:

для того чтобы поле А было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось равенство

Необходимость проверяется непосредственно вычислением: если , то [см. (12)]

Достаточность. Пусть имеет место равенство (13). Постараемся найти хотя бы частное решение уравнений (12).

В целях упрощения положим с самого начала . Тогда первые два из уравнений (12) примут вид

и при интегрировании по z дадут следующие выражения для

где — произвольное из допустимых значений z, а — еще подлежащая определению функция двух переменных. Дифференцируя интегралы по правилу Лейбница, найдем

Используя равенство (13) для того, чтобы удовлетворить последнему из уравнений (12), получим такое условие на функцию

откуда легко определяется интегрированием по х (с точностью до произвольного слагаемого, зависящего от

Итак, наше утверждение доказано. Представляет интерес еще установить, какая степень произвола остается при определении векторного потенциала В из уравнения (11). Если есть какое-либо фиксированное его решение, то общее решение В определяется условием и, в силу 2), представится в виде

где С есть любой потенциальный вектор.

Рис. 119.

Из соображений п° 652 явствует, что условие (13), характеризующее соленоидальное поле А, равносильно требованию, чтобы поток вектора А через любую замкнутую (и ограничивающую некоторое тело поверхность был равен нулю.

Рассмотрим теперь в качестве тела (V) отрезок векторной трубки (рис. 119) между двумя произвольными ее сечениями ; боковую поверхность отрезка трубки обозначим через . Тогда — в случае соленоидального поля, — по сказанному,

причем нормаль направлена вовне по отношению к телу. Вдоль поверхности очевидно, если в сечении изменить направления нормалей (так, чтобы они — в некотором смысле — были направлены согласно с нормалями в (52), см. рис. 119), то придем к равенству:

Таким образом, мы получаем следующее свойство соленоидального поля: поток вектора через поперечные сечения векторной трубки сохраняет постоянную величину, ее называют интенсивностью векторной трубки.

Легко показать, что указанное свойство вполне характеризует соленоидальное поле. Это сразу следует из формулы (8) для расходимости вектора А, если в качестве тела (У), окружающего выбранную точку М, взять именно отрезок векторной трубки: тогда , а с ним и

Если вернуться к приведенной выше гидромеханической интерпретации векторного поля, то окажется, что в случае несжимаемой жидкости и при отсутствии источников расход жидкости через поперечное сечение векторной трубки имеет одно и то же значение для всех сечений.

3) Разложение произвольного векторного поля. Мы покажем теперь, что произвольный вектор А всегда может быть представлен в виде суммы потенциального вектора А и соленоидального вектора

Положим сразу же где Ф — еще подлежащая определению скалярная функция; равенство этим уже обеспечено. Теперь так что Ф нужно выбрать иод условием

Но

если, как обычно, под разуметь оператор Лапласа. Таким образом, для определения Ф имеем дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка

которое всегда имеет решения (и даже бесчисленное множество их).