668. Формула Остроградского. Дивергенция.

Возвращаясь к общему случаю векторного поля А, рассмотрим тело (К), ограниченное замкнутой поверхностью через будем обозначать внешнюю нормаль к поверхности. Тогда по формуле Остроградского [651 (5)], если положить в ней можно преобразовать поток вектора А через поверхность вовне в тройной интеграл:

Стоящее под знаком тройного интеграла выражение называется дивергенцией (или расходимостью) вектора А (в соответствующей точке) и обозначается символом

Таким образом, формула Остроградского перепишется в виде

в каком она чаще всего и" применяется.

Введенная только что величина, дивергенция, есть скаляр; но ее определение формально связано с выбором координатной системы. Для того чтобы освободиться от этого недостатка, поступим следующим образом. Окружим точку М каким-нибудь телом с поверхностью и напишем

формулу (7); если обе части разделить на объем V тела и перейти к пределу, стягивая тело (V) в точку М, то справа как раз и получится, в точке М. Итак,

это равенство также может служить определением дивергенции, причем в этой форме определение уже не зависит от выбора координатной системы.

На этот раз векторное поле А порождает скалярное поле дивергенции .

Заметим, что определение (6) дивергенция может быть с помощью символического вектора Гамильтона записано так:

это станет ясно, если вспомнить выражение (1) скалярного произведения двух векторов.

Пример. Остановимся на движении несжимаемой жидкости при наличии источников (или стоков). Производительностью источников, заключенных внутри замкнутой поверхности называется количество вытекающей через жидкости, отнесенное к единице времени, т. е. поток вектора-скорости

[см. 667, 1)]. Если источники распределены непрерывно по рассматриваемой области, то вводится понятие плотности источников. Так называют предельное значение производительности источников в теле (V), окружающем точку М, рассчитанное на единицу объема, т. е.

Но, как мы только что видели [см. (8)], этот предел равен итак, и есть плотность источников.

Аналогичное рассмотрение можно провести и для теплового потока при наличии источников тепла, лишь вместо вектора-скорости пришлось бы взять вектор потока тепла.

669. Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь. Пусть снова дано какое-нибудь векторное поле . Интеграл

взятый некоторой кривой в пределах рассматриваемой области, называется линейным интегралом от вектора вдоль кривой . В случае замкнутой кривой этот интеграл называют циркуляцией вектора А вдоль

Если поле есть силовое поле, то линейный интеграл выражает работу сил поля при перемещении точки на кривой [ср. 554].

Представим себе некую поверхность ограниченную замкнутым контуром Тогда по известной уже читателю формуле Стокса [639 (21 ] циркуляция вектора А вдоль этого контура может быть выражена поверхностным интегралом:

Вектор с проекциями на оси

называется вихрем или ротором вектора А и обозначается символом -

Таким образом, в векторной форме формула Стокса запишется так:

Циркуляция вектора вдоль замкнутого контура оказывается равной потоку вихря через поверхность, ограниченную этим контуром. При этом направление обхода контура и сторона поверхности должны соответствовать друг другу, как это разъяснено в п° 620.

Рис. 117.

Данное выше определение понятия «вихрь» страдает обычным недостатком: в нем используется определенная координатная система. Взяв любое направление исходящее из данной точки М, окружим ее в перпендикулярной к плоскости площадкой с контуром (К) (рис. 117).

Тогда по формуле Стокса

разделив обе части равенства на площадь и упомянутой площадки и «стягивая» последнюю к данной точке, в пределе получим

Таким образом, удается определить проекцию вектора А на любую ось, а значит, — и сам вектор, без всякой ссылки на предварительно выбранную координатную систему.

Подчеркнем, что здесь векторное поле порождает векторное же поле вихря . С помощью гамильтонова вектора V можно просто записать и определение вихря: [см. выражения (2) для проекций векторного произведения!].

Пример. Рассмотрим произвольное движение некоего твердого тела. Если фиксировать в нем точку О (рис. 118), то, как доказывается в кинематике, для любого момента времени поле скорости точек тела определяется формулой

где есть «поступательная скорость», т. е. скорость точки мгновенная «угловая скорость», а - радиус-вектор, соединяющий точку О с произвольной точкой М тела. Проекции этого вектора на оси произвольной системы Охуг будут [см. (2)]

Рис. 118.

Если, воспользовавшись выражениями (9), подсчитать проекции вихря для этого поля, то получим так что

Таким образом, с точностью до числового множителя, ротор поля скорости дает как раз мгновенную угловую скорость; с этим связано и самое название «ротор».