676. Примеры.

1) Найти объем n-мерного симплекса [162]

Решение. Имеем

Заменяя в этих простых интегралах последовательно переменные по формулам

причем нет надобности пользоваться общей формулой (6), придем к результату

если через обозначить значение интеграла, подобного предложенному, но отвечающего

С другой же стороны, имеем (попутно используя полученный результат)

Найденное рекуррентное соотношение (с учетом того, что дает нам

так что окончательно

2) Найти объем n-мерной сферы [162]

Решение. На этот раз речь идет о вычислении интеграла

Полагая

легко получить, что где числовой коэффициент выражает объем -мерной сферы радиуса 1.

Для определения преобразуем

Внутренний интеграл представляет объем -мерной сферы радиуса и, следовательно, равен Подставляя, придем снова к рекуррентному соотношению

или [см. 534, 4) (б)]

Так как то легкое вычисление дает

Искомый же объем равен

Для случаев четного и нечетного получаются формулы

В частности, для естественно, находим хорошо известные значения

3) Вычислить (несобственный!) интеграл

Решение. Преобразуем предложенный интеграл так:

Внутренний интеграл здесь равен , так что [см. 2)]

Замечание. Любопытно отметить, что вычисленный только что интеграл, с точностью до множителя 2, выражает площадь поверхности -мерной сферы Не входя в подробности, упомянем, что в случае явного задания поверхности

где точка изменяется в -мерной области (Е), площадь этой поверхности выражается интегралом

В частности, для полусферы

имеем

Таким образом, площадь поверхности n-мерной сферы радиуса 1 равна ; в случае сферы радиуса площадь, очевидно, будет

Этот результат принадлежит Якоби.

4) Доказать формулу Дирихле:

Применим метод математической индукции, опираясь на то, что при формула уже была установлена [(697, 12); 617, 14)]. Допустим ее верность для -кратного интеграла. Переписав левую часть формулы в виде

произведем во внутреннем интеграле подстановку

и затем применим к -мерному интегралу формулу Дирихле. Мы получим

если заменить интеграл его выражением через Г:

то придем к требуемому результату.

5) Формулу Дирихле легко обобщить:

Эта формула приводится к уже доказанной, если перейти к новым переменным

В частности, при отсюда снова получается формула для объема n-мерной сферы [(см. 2)].

6) Особо отметим формулу Дирихле для случая

которая полезна при определении объемов, статических моментов, моментов инерции и центробежных моментов для однородных тел указанной формы.

Например, для части эллипсоида содержащейся в первом октанте, получаем (считая плотность равной 1):

7) Доказать формулу Лиувилля

Для эта формула уже известна [597, 16); 611, 17); 617, 14)]. Допустим ее справедливость для (-кратного интеграла. Левую часть доказываемой формулы перепишем так:

Если положить

то внутренний интеграл здесь заменится через а тогда по формуле Лиувилля, примененной к -кратному интегралу, последний представится так:

Подставляя Вместо его выражение, мы заменим полученный повторный интеграл двойным:

Остается лишь применить к последнему уже доказанную формулу, чтобы придти к требуемому результату.

8) Отсюда легко получить более общую формулу:

(все числа а предполагаются положительными).

(кликните для просмотра скана)

9) Доказать с помощью математической индукции формулу:

[см. 611, 18); воспользоваться 534, 2)].

10) Покажем, следуя Коши, как вычисление кратного интеграла

может быть приведено к вычислению простого интеграла.

По известной формуле [531 (13)]

Подставляя это в интеграл К и изменяя порядок интегрирований, представим его в виде

или, наконец, если для интегралов в фигурных скобках снова использовать указанную формулу:

Результат этот имеет место и при но в предположении, что

11) Приведем вычисление интеграла

где — четное натуральное число, а — произвольные Вещественные числа.

Имеем, прежде всего, по формуле для степени многочлена

Если интегрировать по сфере то интегралы от членов, для которых хоть один из показателей X — нечетное число, оказываются нулями. Таким образом,

Но по обобщенной формуле Дирихле [см. 5)] написанный интеграл имеет значение

Полагая здесь

после преобразований получим:

Этот интеграл (правда, другим путем) впервые вычислил Н. Я. Сонин. Заметив, что интеграл

равен всегда нулю, Сонин получил затем, с помощью разложения показательной

функции в ряд и почленного интегрирования, значение и такого интеграла;

где для краткости положено

При четном этот результат может быть переписан в виде

т. e. выражается через бесселеву функцию со значком от мнимого аргумента. Нужно сказать, впрочем, что, если ввести в рассмотрение и бесселевы функции с дробным значком, то полученный результат сохранит силу при нечетном

12) Перейдем теперь к примерам применения к вычислению кратных интегралов общей формулы (6) замены переменных.

Естественно начать с обобщенного полярного преобразования по формулам

Если в пространстве рассматривается сфера то ей в новом пространстве очевидно, можно поставить в соответствие прямоугольный параллелепипед

если же берется только часть сферы, отвечающая ограничениям то изменение всех углов ограничивается Промежутком

Якобиан преобразования

вычисляется непосредственно по определению очень кропотливо. Поэтому мы

вычислим его обходным путем. Формулы (10) легко приводят к системе уравнений:

для которой, обратно, система функций (10) и будет решением. В таком случае по формуле п° 210, 8),

Оба последних определителя вычисляются сразу, ибо приводятся к произведениям диагональных членов; они равны соответственно

Таким образом, окончательно,

Рассмотрим для примера интеграл

Если прибегнуть к полярному преобразованию, то его вычисление непосредственно приведется к вычислению отдельных, один от другого не зависящих, интегралов:

Если использовать для вычисления интегралов от степеней синуса формулу из 534, 4) б):

то после упрощений получим

так что вопрос свелся к вычислению одного простого интеграла по

В этом, как частные случаи, содержатся результаты упражнений 2) и 3). В свою очередь, полученный результат содержится в формуле Лиувилля 8). 13) Если возвести формулы (10) в квадрат, заменить через — через то придем к такой системе соотношений:

Преобразование (11), таким образом, в некотором смысле равносильно полярному преобразованию (10). В случае его применил Якоби для доказательства известного соотношения между функциями В и

Предлагается непосредственно установить формулу Лиувнлля 7), применив к интегралу в левой части преобразование (11). Симплексу

при этом отвечает куб в пространстве Якобиан преобразований равен

Если к элементам каждого столбца прибавить соответственные элементы всех последующих столбцов, то все элементы ниже диагонали заменятся нулями, а диагональные элементы окажутся равными

Таким образом, окончательно

По формуле (6) наш интеграл приводится к следующему:

а этот уже представляется в виде произведения простых интегралов; остальное ясно.

14) То же преобразование переменных позволяет получить и видоизмененную формулу Лиувилля, где -кратный интеграл оказывается распространенным на бесконечную область:

при этом предполагается, что интеграл справа сходится абсолютно.

Эта формула обобщается так же, как и предшествующая [ср. 8)]:

С помощью последней формулы можно установить, например, что

15) Доказать формулу (также принадлежащую Лиувиллю):

Указание. Формула выводится из соотношения, данного в 7), если заменить там на и положить

Якобиан преобразования в этом случае имеет значение

16) Рассмотрим, вместе с Каталаном, интеграл

при этом, полагая

считаем функцию непрерывной для

Прибегнем к линейному ортогональному преобразованию всех переменных, включая и по формулам

где коэффициентов подчинены условиям

Из них следует, что

и мы берем за новые независимые переменные полагая

Произвол в выборе коэффициентов настолько велик, что мы вправе конкретно положить

и даже дополнительно потребовать, чтобы определитель, составленный из коэффициентов преобразования, был равен . При таком предположении, как известно, алгебраическое дополнение, отвечающее какому-либо элементу определителя, равно самому элементу. С учетом этого якобиан

оказывается равным

Таким образом,

Внутренний интеграл, как легко получить из 3), равен

так что окончательно

Полагая здесь , можно написать результат и в виде

При отсюда получается известная формула Пуассона, которую мы вывели в 633, 3) и, по существу, тем же методом преобразования координат.

17) Известная уже нам формула Каталана [см. 597, 15) и 616, 16)] непосредственно — путем повторения тех же рассуждений — переносится на -мерный случай

где

Здесь может быть и причем понимается как

Предполагается для примера по методу Каталана получить из формулы Дирихле 4) формулу Лиувилля 7).

18) Н. Я. Сонин обратил внимание на то, что формулу Каталана иной раз можно использовать в другом плане.

Предположим функцию однородной [187] степени, а функцию — однородной же, но первой степени; например, функция может иметь вид

Пусть, далее, Тогда, полагая в (13)

(Якобиан ) и учитывая, что неравенство перейдет при этом в неравенство мы получим, что

Подставляем это в (12) (лишь вместо снова пишем х):

Теперь, если удается выбрать, во-первых, функцию 9 и, во-вторых, предел М так, чтобы интеграл слева легко вычислялся, то отсюда получается выражение для интеграла

Если, например, ограничиваясь неотрицательными значениями взять

то окажется равным и мы получим формулу Дирихле [4)]:

19) Предлагается тем же приемом осуществить приведение интеграла

в предположении, что

Указание. Взять воспользоваться результатом 10) при . Ответ.

20) Н. Я. Сонину принадлежит также следующее обобщение формулы Каталана:

где

[Формула Каталана отсюда получается, если функции придать частную форму: ]. Приведем доказательство автора. В очевидном равенстве

положим

тогда получим

Если вычислить внутренний интеграл справа, то отсюда

С другой стороны, по правилу дифференцирования сложной функции «полная производная»

Применяя к вычислению второй производной справа правило Лейбница, заменим ее через

Проинтегрируем теперь это равенство по t от принимая во внимание, что найдем:

Если сопоставить (14) и (15), то и получится доказываемая формула.

21) Применим формулу Сонина к вычислению интеграла:

Здесь

Имеем, очевидно,

(кликните для просмотра скана)

Так как при интеграл сохраняет непрерывность, то

[531, 6°]. Окончательно:

23) Лиувилль остроумно использовал этот интеграл для вывода теоремы умножения для функции Г, принадлежащей Гауссу [536].

Умножив обе части полученного равенства на проинтегрируем его по X от до Справа получится

Слева же перенесем интегрирование по X на первое место (по порядку выполнения):

Внутренний интеграл подстановкой приводится к

а тогда остающийся -кратный интеграл распадается на произведение отдельных простых интегралов:

Приравнивая это произведение выражению (16) и заменяяр через мы и придем к формуле Гаусса:

в ее обычном виде.

24) Пусть будут ограниченные функции, интегрируемые в конечном промежутке Доказать, что

Определитель справа называется определителем Грама (J. P.Gram).

Разложив промежуток на равных частей, введем в рассмотрение значения всех а функций в точках деления:

Возведем в квадрат прямоугольную матрицу, составленную из этих чисел. По известной теореме соответствующий ей определитель

оказывается равным сумме квадратов определителей упомянутой исходной матрицы:

где суммирование распространено на всевозможные сочетания из значков по . Если от сочетаний перейти к размещениям, то каждый член воспроизведется раз; можно не избегать и равенства значков ибо этому случаю отвечает нулевой член. В результате можно написать:

Если каждое слагаемое кратной суммы слева умножить на и одновременно каждый элемент определителя справа на то получится равенство вроде доказываемого, но лишь с интегральными суммами вместо интегралов. Чтобы завершить доказательство, остается перейти к пределу при