675. Замена переменных в n-кратном интеграле.

Этот вопрос мы рассмотрим несколько подробнее. Пусть даны две -мерные области: (D) в пространстве и (А) в пространстве ограниченные каждая одной непрерывной — гладкой или кусочно-гладкой — поверхностью. Предположим, что между ними с помощью формул

устанавливается взаимно однозначное соответствие. Тогда, при обычных предположениях относительно производных и сохранения знака якобианом

интеграл от непрерывной в (D) функции может быть преобразован по формуле

которая совершенно аналогична формулам преобразования двойных и тройных интегралов [609 (21); 661 (8)].

Доказательство этой формулы мы проведем по методу математической индукции. Так как для она уже была

установлена, то достаточно, предположив справедливость подобной формулы преобразования для -кратного интеграла, доказать ее для интеграла -кратного.

Без умаления общности можно предположить, что какая-либо из частных производных сохраняет знак (иначе пришлось бы лишь разложить область (А) на части, для которых это справедливо); пусть это будет производная

Выделив в предложенном интеграле (2) интегрирование по перепишем этот интеграл в виде

здесь означает область изменения переменных отвечающую фиксированному значению

Разрешив первое из уравнений (5) относительно переменной выразим ее в функции от

и подставим это выражение в остальные формулы. Таким путем мы получим новые формулы преобразования:

Преобразуем, исходя из этих формул, -кратный внутренний интеграл в (7) к переменным что по предположению можно сделать по формуле, аналогичной Мы придем к интегралу

где

Поставим теперь в нем интегрирование по на первое место:

и во внутреннем интеграле перейдем от переменной к переменной по первой из формул (5) (при фиксированных . Мы получим

или, возвращаясь к -кратному интегралу:

Чтобы придти к (6), остается только убедиться в тождестве

Но, дифференцируя сложные функции (8) по и используя для выражения производных от функции правило дифференцирования неявной функции, найдем

Поэтому, если в определителе к элементам строки прибавить соответственные элементы первой строки, умноженные на он примет вид

откуда и ясно, что он равен Этим и завершается доказательство.

Заметим, что мы молчаливо предполагали -мерные области ограниченными всякий раз одной непрерывной, гладкой или кусочно-гладкой, поверхностью (в соответствующем пространстве). Раздробив предварительно область (D) и одновременно с нею (А) на частит, всегда можно добиться того, чтобы сказанное было верно, по крайней мере, для каждой части в отдельности. Формула справедливая для этих частей, будет справедлива и для всей области в целом.

Обычным образом формула замены переменных распространяется и на случай несобственных интегралов.