559. Обобщение на случай произвольной области.

Рассмотрим теперь произвольную (конечно, связную) область (D), ограниченную одной или несколькими кусочно-гладкими кривыми и при этом конечную или простирающуюся в бесконечность. Эту область мы впредь будем предполагать открытой. В таком случае каждая ее точка является внутренней [163] и принадлежит ей вместе с некоторой, скажем, прямоугольной окрестностью. Так как к последней приложимы рассуждения предыдущего п°, то при выполнении условия (А) в окрестности каждой точки области (D) для выражения (2) существует первообразная и даже бесконечное множество первообразных, разнящихся одна от другой на постоянную. Однако согласование всех этих первообразных так, чтобы получилась однозначная первообразная для всей области (D), оказывается не всегда возможным! Вопрос здесь зависит от характера самой области.

Чтобы обеспечить существование такой однозначной первообразной в общем случае, приходится наложить на область (D) своеобразное ограничение. Его можно сформулировать так: какой бы простой замкнутый контур, лежащий в области (D), ни взять, ограниченная извне этим контуром область должна также целиком принадлежать области Иными словами, область не должна содержать

держать «дырок», даже точечных. Связную область, обладающую этим свойством, называют односвязной.

Если речь идет о конечной области (т. е. не простирающейся в бесконечность), то понятие односвязности можно сформулировать еще проще: область должна быть ограничена единственным замкнутым контуром. На рис. 19 представлены примеры односвязных и неодносвязных областей, из них а), г), д) конечны, а б), в), е) простираются в бесконечность.

Пусть же рассматриваемая область (D) будет односвязной; сначала мы предположим ее конечной, так что она попросту ограничена единственной кусочно-гладкой кривой (К). Построение первообразной для области (D) мы будем производить постепенно, исходя из содержащихся в областей, разлагающихся на прямоугольники.

Рис. 19.

Задавшись произвольно малым числом мы можем каждую точку М контура (К) окружить таким квадратом со стороной чтобы в его пределах контур выражался явным уравнением одного из двух типов [ср. 223]; лишь в угловой точке мы будем иметь стык двух подобных кривых.

По лемме Бореля [175], можно, сохранив лишь конечное число этих квадратов, покрыть ими весь контур (К). Этой конечной цепью квадратов извне ограничивается некоторая замкнутая область (D), целиком лежащая в (D) и очевидным образом разлагающаяся на прямоугольники. Она будет связной, а тогда уже и односвязной вместе с (D), ей заведомо будут принадлежать все точки области (D), отстоящие от контура на расстояние е.

Мы покажем ниже, как строится первообразная для области Чтобы иметь дело с определенной первообразной, мы фиксируем ее значение в какой-нибудь точке принадлежащей . Заметим, что две первообразные, определенные для двух налегающих одна на другую областей, в общей их части могут разниться лишь на постоянную (так как их разность имеет нулевые частные производные, 183). Следовательно, если эти первообразные совпадают хоть в одной точке, они тождественны во всей упомянутой общей части. Отсюда ясно, что, устремляя к нулю, мы, действительно, постепенно распространим определение первообразной на всю область (D) с сохранением ее однозначности.

Чтобы построить первообразную для области (D), мы представим себе эту область разложенной на прямоугольники, которые примыкают один к другому по вертикальному отрезку (рис. 20, а).

Рис. 20.

Два таких смежных прямоугольника изображены на рис. 20, б. В каждом из них мы умеем строить первообразные, пусть это будут Вдоль отрезка общего прямоугольникам они могут разниться лишь на постоянную; это становится ясным, если вспомнить, что каждая из них разнится вдоль разве лишь постоянным слагаемым от какой-либо первообразной, построенной для заштрихованного прямоугольника, которая существует в силу предыдущего п°. Изменяя одну из первообразных, или на надлежащую постоянную, можно, следовательно, добиться их совпадения вдоль отрезка

Начнем с построения первообразной для того из прямоугольников, где лежит точка причем озаботимся, чтобы в этой точке первообразная имела именно наперед фиксированное значение. Затем построим первообразные для примыкающих к нему прямоугольников, так, чтобы переход через их общие границы не нарушал непрерывности, и т. д.

Постараемся теперь уяснить себе, в чем же сказывается условие односвязности области (D), а с нею и Ряд прямоугольников на рис. 20, а при замысловатости контура (К) может и разветвиться,

как на рис. 21, а: это не помешает непрерывному распространению первообразной вдоль отделенных друг от друга отрогов. Но если область имеет «дырку» (см. рис. 21, б) и два ответвления вновь смыкаются, то для первого замыкающего прямоугольника выбор первообразной с сохранением непрерывности перехода на обоих стыках и 8 сразу — может оказаться невозможным!

Случай области (D), простирающейся в бесконечность, исчерпывается аналогично, исходя из конечных подобластей, с постепенным распространением первообразной на всю область

Рис. 21.