558. Признак точного дифференциала и нахождение первообразной в случае прямоугольной области.

Теперь естественно возникает вопрос о том, по какому признаку можно установить, является ли предложенное дифференциальное выражение (2) точным дифференциалом или нет. Ответ на этот вопрос позволит окончательно выяснить и условия независимости криволинейного интеграла от пути.

Для того чтобы получить признак в простой и удобной для проверки форме, мы впредь будем дополнительно предполагать, что в рассматриваемой области (D) существуют и непрерывны обе частные производные и

При этом предположении искомый признак получается сразу. Если выражение (2) есть дифференциал некоторой функции так что имеют место равенства (5):

то

Предположенная непрерывность частных производных обеспечивает равенство двух смешанных производных [190], следо вательно,

Таким образом, это замечательное по простоте соотношение оказывается необходимым условием для того, чтобы выражение (2 было точным дифференциалом.

Обращаясь к исследованию достаточности условия (А), мы ограничимся сначала случаем, когда область (D) представляет собой прямоугольник; пусть, для определенности, это будет конечный замкнутый прямоугольник . В предположении, что выполняется условие (А), мы непосредственно дадим для этого случая построение первообразной.

Задача состоит в том, чтобы определить в прямоугольнике функцию которая удовлетворяла бы двум уравнениям

Действительно, ввиду непрерывности функций Р и отсюда уже следовало бы, что выражение (2) является для упомянутой функции полным дифференциалом [179].

Взяв любые значения проинтегрируем первое из уравнений по х от до х при любом фиксированном значении у из мы найдем

Если теперь во втором из уравнений положить и проинтегрировать его по у между любыми значениями и у из то получится, что

Таким образом, искомая функция необходимо имеет вид

где

Остается теперь проверить, что функция, определяемая формулой (какова бы ни была постоянная ), в действительности удовлетворяет

обоим уравнениям (5. Относительно первого это очевидно, ибо производная по х первого слагаемого в (7) справа равна [305], а последние два слагаемых не зависят от х. Продифференцируем теперь равенство (7) по у, причем к первому интегралу справа применим правило Лейбница [507]:

В силу (А), вместо можно сюда подставить тогда интеграл сведется к разности а производная окажется равной просто что и требовалось доказать.

Заметим, что если бы мы начали с интегрирования по у, то пришли бы к такому выражению для искомой первообразной:

лишь по форме отличающемуся от прежнего.

Полезно дать себе отчет в том, что, фиксируя значение первообразной в какой-нибудь точке области, мы тем самым выбираем постоянную в общем выражении первообразной и получаем уже вполне определенную и однозначную первообразную.