725. Распространение тепла в круглой пластине.

Мы рассмотрим тепловую задачу еще для одного случая — круглой пластины радиуса с центром в начале координат. Предположим пластину настолько тонкой, что по высоте ее температура не меняется, а верхнюю и нижнюю ее поверхности будем считать изолированными. Больше того, мы ограничимся изучением случая, когда температура и будет зависеть только от полярного радиуса-вектора (но не от полярного угла 6): для этого достаточно предположить, что таковы же начальные и предельные данные. [Можно было бы и здесь вместо пластины с изолированными поверхностями рассматривать круговой цилиндр, бесконечный вниз и вверх.]

Взяв общее дифференциальное уравнение теплопроводности:

[672, 3°], мы прежде всего, ввиду независимости и от перепишем его в виде

Переходя на плоскости к полярным координатам, мы должны заменить выражение в скобках следующим:

[см. 222, 1]. Наконец, учитывая, что и не зависит от в, приходим к такому уравнению:

Пусть начальное распределение температуры будет задано в виде

а предельное условие сводится к

Прибегнем и здесь к методу Фурье. Станем искать частное решение уравнения (21) в виде

тогда для определения этих функций получатся уравнения

Из первого из них Второе же, если положить перейдет в уравнение Бесселя:

Отождествим же с функцией Бесселя с нулевым значком, т. е. положим Предельное условие дает

Мы уже упоминали в 679, 6), что функция имеет бесчисленное множество положительных корней таким образом, для А возможен ряд значений

Им отвечают частные решения вида

из которых, как обычно, составляется общее решение:

Остается определить коэффициенты Неиспользованное еще начальное условие дает в этом случае

Мы уже видели в 679, 6), что система функций ортогональна в обобщенном смысле — с «весом» х в промежутке очевидно, система будет ортогональной в промежутке с «весом» Обычным образом определяя коэффициенты этого обобщенного ряда Фурье, найдем

И здесь мы удовольствуемся полученным формальным решением.

Читатель видит, что последние два примера уже выходят за пределы обыкновенных рядов Фурье. Мы привели их, желая создать у читателя правильную ориентацию в вопросе о приложении рядов Фурье в математической физике. Они там играют важную роль, но, конечно, далеко не исчерпывают потребностей математической физики: достаточно небольшого изменения условий задачи, чтобы оказалось необходимым прибегнуть к разложениям уже другого рода. Это обстоятельство нисколько не умаляет значения рядов Фурье и развитой для них теории, потому что ряды Фурье навсегда останутся простейшим и важнейшим примером «ортогонального разложения»; по образцу его строятся все другие подобные разложения, теория которых теснейшим образом переплетается с теорией рядов Фурье.