724. Видоизменение предельных условий.
Вернемся к задаче о распространении тепла в конечном стержне, рассмотренной в 722, но видоизменим предельные условия. Именно, предполагая по-прежнему, что на конце 
поддерживается температура 0, будем считать, что на конце 
имеет место свободное излучение в окружающую среду температуры 0. Количество тепла, подводимого за промежуток времени 
к этому концу, будет [см. 722]:
а количество излучаемого тепла по закону Ньютона [ср. 359, 3)] равно
где 
есть «коэффициент внешней теплопроводности». Следовательно, на конце 
должно выполняться такое условие:
Если рассмотреть теперь частное решение — вида 
то получим, как и в п° 722:
Предельное условие на конце 
даст 
предельное же условие на конце 
приведет к равенству
или
Таким образом, для X получается ряд значений
где 
суть положительные корни трансцендентного уравнения
(см. 679, 4)]. Общее решение получается в виде:
сходном с (16), однако (и это важно подчеркнуть,) числа здесь имеют гораздо более сложную при роду.
Рис. 141.
Начальное условие приводит к разложению:
его можно рассматривать как обобщенный ряд Фурье функции 
в промежутке 
и, пользуясь ортогональностью функций
[679, 4)], обычным образом определить коэффициенты 
Мы оставим открытым вопрос об условиях, которые надлежало бы наложить на функцию 
чтобы обеспечить равенство (20), и ограничимся формальным решением поставленной задачи.
