724. Видоизменение предельных условий.

Вернемся к задаче о распространении тепла в конечном стержне, рассмотренной в 722, но видоизменим предельные условия. Именно, предполагая по-прежнему, что на конце поддерживается температура 0, будем считать, что на конце имеет место свободное излучение в окружающую среду температуры 0. Количество тепла, подводимого за промежуток времени к этому концу, будет [см. 722]:

а количество излучаемого тепла по закону Ньютона [ср. 359, 3)] равно

где есть «коэффициент внешней теплопроводности». Следовательно, на конце должно выполняться такое условие:

Если рассмотреть теперь частное решение — вида то получим, как и в п° 722:

Предельное условие на конце даст предельное же условие на конце приведет к равенству

или

Таким образом, для X получается ряд значений

где суть положительные корни трансцендентного уравнения

(см. 679, 4)]. Общее решение получается в виде:

сходном с (16), однако (и это важно подчеркнуть,) числа здесь имеют гораздо более сложную при роду.

Рис. 141.

Начальное условие приводит к разложению:

его можно рассматривать как обобщенный ряд Фурье функции в промежутке и, пользуясь ортогональностью функций

[679, 4)], обычным образом определить коэффициенты

Мы оставим открытым вопрос об условиях, которые надлежало бы наложить на функцию чтобы обеспечить равенство (20), и ограничимся формальным решением поставленной задачи.