ГЛАВА ДВАДЦАТАЯ. РЯДЫ ФУРЬЕ (продолжение)
§ 1. Операции над рядами Фурье. Полнота и замкнутость
731. Почленное интегрирование ряда Фурье.
Предположим функцию 
как обычно, абсолютно интегрируемой в промежутке 
Пусть ее ряд Фурье будет
Введем в рассмотрение для — к 
функцию
очевидно, непрерывную и с ограниченным изменением [486, 7°; 668, 4°]; к тому же она имеет период 
ибо
В таком случае, по теореме п° 686, эта функция во всем промежутке разлагается в ряд Фурье:
(который к тому же, согласно 699, равномерно сходится к ней).
Между коэффициентами рядов (1) и (4) существует простая связь. Действительно, если воспользоваться обобщенной формулой интегрирования по частям, установленной в п° 580, 9), то будем иметь 
то
Аналогично, на этот раз с учетом равенства (3), получим
Для нахождения же 
положим в 
Подставив в разложение (4) найденные значения коэффициентов, можем переписать его в виде
Отсюда, если учесть равенство (2), имеем
Очевидно, и для любого промежутка 
где 
, имеет место подобное же соотношение:
Таким образом, интеграл от функции 
получается почленным интегрированием соответствующего ей ряда Фурье. Тот факт, что почленное интегрирование ряда Фурье оказывается всегда допустимым, тем более замечателен, что мы установили его, даже не делая предположения о сходимости самого ряда (1) к функции 
Ясно, что в качестве основного промежутка вместо 
может быть выбран любой другой промежуток длины 
Точно так же все сказанное относится и к рядам, содержащим одни лишь косинусы или одни лишь синусы [689] и рассматриваемым в промежутке 
Интегрированием известных тригонометрических разложений могут быть получены другие разложения. Член в (6), если угодно иметь тригонометрическое же разложение, следует перенести в другую часть равенства. Некоторого внимания требует к себе свободный член 
получить его в конечном виде удается либо непосредственным суммированием ряда (5), либо же интегрированием по формуле
Поясним это примером. Если проинтегрировать разложение
[см. 680, 2)] от 0 до х, то получим:
Отсюда
причем с определяется либо как сумма ряда
либо как интеграл:
Таким образом, мы приходим к разложению, которое независимо было получено в 690, 9). Аналогично разложение в 7) (а) получается из разложения в 7) (б) и т. д.
Замечание. Подчеркнем, что проведенным рассуждением попутно установлен такой факт: какова бы ни была абсолютно интегрируемая в промежутке 
функция 
ряд
где 
— коэффициенты при синусах в ее ряде Фурье, необходимо сходится 
Ниже, в 758, мы воспользуемся этим замечанием.
