730. Сопоставление приближенных и точных значений коэффициентов Фурье.

Если функция задана в промежутке аналитически и дважды дифференцируема, то погрешности найденных выше приближенных формул для коэффициентов Фурье могут быть установлены, как обычно [730]. Мы зададимся здесь другой целью, именно, мы выведем соотношения, связывающие приближенное значение данного коэффициента с точными значениями этого же и других коэффициентов. Эти соотношения не приводят к оценкам для погрешностей, но все же проливают свет на весь вопрос в целом и создают в нем надлежащую ориентацию.

Итак, предположим, что для рассматриваемой функции в промежутке имеет место разложение Фурье:

Мы умышленно обозначаем здесь коэффициенты Фурье большими буквами, чтобы отличить их от приближенных значений их, которые будут обозначаться малыми буквами. Полагая в написанном равенстве мы вычислим те частные значения функции которые фигурируют в формулах (23), (24) и (25), дающих приближенные значения коэффициентов:

Подставим эти величины в первую из этих формул; переставляя суммирования, найдем:

Но, как легко видеть, суммы

равны 0, за исключением того случая, когда и кратно Ли первая сумма получает значение (вторая сумма и в этом случае равна 0). Отсюда сразу получается

Подставляя выражения для в формулу (24) и снова переставляя суммирования, получим последовательно:

И здесь также отличными от нуля (и при этом равными будут лишь те суммы косинусов, у которых множитель оказывается кратным к, т. е. для значений вида Если для определенности считать то придем к такому ряду для

Совершенно аналогично получается, что

Это и есть те формулы, которые мы хотели установить.

Мы усматриваем из них, что, скажем, отличается от суммой некоторых коэффициентов А с большими номерами, если только велико, наоборот, не слишком велико. Становится ясным, что важную роль в вопросе о точности приближений играет быстрота убывания коэффициентов Фурье, которая, как мы знаем [706—708], в свою очередь, связана с дифференциальными свойствами функции, продолженной навесь промежуток Это обстоятельство хорошо иллюстрируется примерами 2) и 3) п° 727: обращаем внимание читателя на угловые точки графика во втором из них!

Полагая мы будем иметь в частности (ограничиваясь для примера коэффициентами при косинусах):

и наряду с этим

и т. д. Отсюда видно, что за пределами первых двух-трех гармоник нельзя ждать сколько-нибудь удовлетворительной точности.

Результаты сразу улучшаются при переходе к

Здесь, вообще говоря, можно ждать хорошей точности для первых семивосьми гармоник.