734. Равномерная аппроксимация функций.

Теоремы Вейерштрасса. Если какую-либо функцию в промежутке «аппроксимируют» с помощью другой, то качество этой аппроксимации можно, в зависимости от обстоятельств, оценивать по-разному. Но, естественно, в основу во всех случаях кладется рассмотрение разности

Если мы одинаково заинтересованы в малом отклонении одной из функций от другой во всех отдельно взятых точках, то за меру приближения принимают их максимальное отклонение в промежутке, т. е. число

В этом случае говорят о равномерной аппроксимации функции с помощью функции

Мы приведем две фундаментальные теоремы Вейерштрасса, относящиеся к равномерной аппроксимации непрерывных функций, во-первых, с помощью тригонометрических многочленов и, во-вторых, с помощью обыкновенных (алгебраических) многочленов.

Теорема 1. Если функция непрерывна в промежутке и удовлетворяет условию

то, каково бы ни было число найдется такой тригонометрический многочлен

что равномерно для всех значений х в упомянутом промежутке будет

Построим прежде всего такую кусочно-линейную функцию , чтобы повсюду в выполнялось неравенство

Для этого разобьем промежуток точками

на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание функции

было Функцию определим в промежутке полагая ее в каждом отдельном промежутке равной линейной функции

которая на концах промежутка совпадает с По сути дела речь идет о вписывании ломаной линии в кривую, выражаемую уравнением Если через и обозначить наименьшее и наибольшее значения функции промежутке, то по условию и так как в этом промежутке значения обеих функций содержатся между и то выполнение неравенства (11) во всем промежутке удостоверено.

Функция подобно непрерывна в промежутке и удовлетворяет условию

но, сверх того, она, как кусочно-монотонная функция, имеет в этом промежутке ограниченное изменение При этих условиях, согласно признаку Дирихле—Жордана [690], разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье:

Следовательно, если в качестве многочлена взять частичную сумму этого ряда при достаточно большом то он будет отличаться от меньше, чем на

сразу для всех рассматриваемых значений х.

Из (11) и (12) вытекает (10).

Возьмем теперь последовательность убывающих до нуля положительных чисел и для каждого числа построим многочлен о котором была речь в доказанной теореме; тогда получится последовательность тригонометрических многочленов, которая сходится к функции равномерно в промежутке Переходя обычным образом [427] от последовательности к бесконечному ряду, получим другую формулировку теоремы, очевидно, равносильную прежней; при указанных в теореме 1 условиях функция разлагается в равномерно сходящийся ряд, членами которого являются тригонометрические многочлены.

Из теоремы 1 уже легко выводится

Теорема 2. Если функция непрерывна в промежутке то, каково бы ни было число найдется такой целый алгебраический многочлен

что равномерно для всех значений будет

Простой подстановкой

можно свести дело к рассмотрению промежутка , ибо многочлен, целый относительно х, очевидно, будет целым и относительно х.

Чтобы не усложнять обозначений, будем считать, что первоначально данный промежуток и есть .

Распространим теперь функцию на весь промежуток , полагая

Функция сохранит непрерывность и, очевидно, будет удовлетворять условию . В таком случае по теореме 1 найдется такой тригонометрический многочлен что для всех значений х между будет

Если заменить каждую из тригонометрических функций, входящих в состав Т, ее разложением по степеням то и функция Т представится в виде суммы повсюду сходящегося степенного ряда:

В промежутке этот ряд сходится равномерно; поэтому, если отождествить многочлен частичной суммой этого ряда, при достаточно большом , то для всех х в промежутке будет

Остается сопоставить (14) и (15).

Как и выше, доказанной теореме можно дать другую формулировку: функция непрерывная в промежутке разлагается в этом промежутке в равномерно сходящийся ряд, членами которого являются целые алгебраические многочлены.