733. Полнота тригонометрической системы.

Если непрерывная в промежутке функция имеет коэффициенты Фурье, все равные нулю, то и сама функция сводится тождественно к нулю. Действительно, в этом случае, как ясно из равенства (6), при всех х будет

откуда, дифференцируя по х, именно ввиду непрерывности подинтегральной функции и получим тождественно

Иными словами, кроме функции, тождественно равной нулю, не существует непрерывной функции, которая в промежутке была бы ортогональна [679] ко всем функциям тригонометрической системы

Этот именно факт и выражают, говоря, что тригонометрическая система полна — в классе непрерывных функций.

Если две непрерывные функции имеют одни и те же коэффициенты Фурье, то они необходимо тождественны, ибо их разность будет иметь коэффициенты Фурье, сплошь равные нулю. Таким образом, непрерывная функция однозначно определяется своими коэффициентами Фурье. Это лишь другая формулировка свойства полноты тригонометрической системы.

Если обратиться к рассмотрению и разрывных функций, то положение вещей может оказаться другим. Функция, которая, скажем, лишь в конечном числе точек отлична от нуля, уже не равна нулю «тождественно», но в то же время, очевидно, будет ортогональна к любой из функций (9), как, впрочем, и ко всякой интегрируемой (в собственном или несобственном смысле) функции. Можно представить себе функции, отличные от нуля даже в бесконечном множестве точек и все же обладающие последним свойством. Такова, например, функция [ср. 70, 8), 300, 1)], равная если х есть несократимая дробь вида , а в прочих точках промежутка равная 0.

Однако функция, которая в рассматриваемом промежутке ортогональна ко всякой вообще интегрируемой функции, не отличается «существенно» от нуля; мы будем называть такую функцию эквивалентной нулю.

Теперь можно доказать, что абсолютно интегрируемая в промежутке функция коэффициенты Фурье которой все равны нулю, необходимо эквивалентна нулю.

Действительно, если — произвольная функция, интегрируемая в собственном смысле, то, в силу 579, Г,

где При сделанных предположениях [см. (8)], так что ортогональна к

Отсюда легко перейти к случаю, когда интегрируема в несобственном смысле. Пусть, например, точка будет ее единственной особой точкой. Тогда, полагая , по доказанному будем иметь

Остается лишь перейти к пределу при

Расширяя несколько понятие «полноты», можно утверждать теперь, что тригонометрическая система (9) полна в классе абсолютно интегрируемых функций. Смысл этого таков: кроме функций, эквивалентных нулю, не существует абсолютно интегрируемой функции, которая в промежутке была бы ортогональна ко всем функциям (9).

Наконец, если две абсолютно интегрируемые функции имеют одни и те же коэффициенты Фурье, то их разность эквивалентна нулю. Если не считать такие функции «существенно» различными, то в некотором смысле можно сказать и здесь, что абсолютно интегрируемая функция однозначно определяется своими коэффициентами Фурье.

Замечание. Все сказанное сохраняет свою силу и порознь для систем

или

но лишь в промежутке .