544. Сведение к обыкновенному определенному интегралу.

Предположим, что на кривой (К) произвольно установлено направление (одно из двух возможных), так что положение точки М на кривой может быть определено дайной дуги отсчитываемой от начальной точки А. Тогда кривая (К) параметрически выразится уравнениями вида:

а функция заданная в точках кривой, сведется к сложной функции от переменной .

Если через обозначить значения дуги, отвечающие выбранным на кривой точкам деления то, очевидно, Обозначив через значения определяющие точки (причем, очевидно, ), видим, что интегральная сумма для криволинейного интеграла

является в то же время интегральной суммой для обыкновенного определенного интеграла, так что сразу имеем:

причем существование одного из интегралов влечет за собой существование другого.

Эта непосредственность сведёния криволинейного интеграла первого типа к обыкновенному интегралу, разумеется, понижает его теоретическое значение, но методическое значение он все же сохраняет.

Интеграл, очевидно, существует, например, в случае непрерывности функции что мы будем впредь предполагать.

Пусть теперь простая кривая (К) задана произвольными параметрическими уравнениями

где функции непрерывны со своими производными . Тогда кривая заведомо спрямляема, и если возрастание дуги отвечает возрастанию параметра t, то

[248 (10)]. Заменяя переменную в интеграле (3) справа, сразу получим:

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого типа надлежит заменить в подинтегральной функции переменные х и у выражениями координат через параметр, а множитель — дифференциалом дуги, как функции параметра. Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла (4) должен быть меньше верхнего.

В случае кривой, заданной явным уравнением

формула (4) принимает вид:

Этому соотношению можно придать и другую форму. В предположении непрерывности функции вместе с ее производной кривая (К) в каждой точке будет иметь определенную касательную, не параллельную оси у. Обозначив через а угол касательной с осью х, получим:

Поэтому

В частности, так как, очевидно,

где через обозначена длина всей кривой то

Замечание. Формула (7) получена нами в результате формальных преобразований. Если бы мы определили длину дуги кривой, как предел периметра описанной (а не вписанной) ломаной, то это определение — в случае явного задания кривой — непосредственно привело бы к формуле (7). Предлагаем читателю самому убедиться в этом.