ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА

§ 1. Криволинейные интегралы первого типа

543. Определение криволинейного интеграла первого типа.

Для того чтобы естественным путем прийти к этому новому понятию, рассмотрим одну механическую задачу, которая к нему приводит.

Пусть на плоскости дана непрерывная простая спрямляемая кривая (К) (рис. 1), вдоль которой расположены массы, причем известна их линейная плотность во всех точках М кривой. Требуется определить массу всей кривой (К).

Рис. 1.

С этой целью между концами А к В кривой вставим произвольно ряд точек для симметрии обозначений отождествляются с А и В). Мы считаем, что точки эти перенумерованы в направлении от А к В [см. 246], хотя ничто не мешало бы нам нумеровать их и в обратном направлении.

Взяв какую-нибудь точку на дуге кривой, вычислим плотность в этой точке. Приближённо считая, что такова же плотность во всех точках этого участка, и обозначая длину дуги через для массы этой дуги будем иметь приближенное выражение

а для всей искомой массы — выражение

Погрешность этого последнего, связанная с сделанным выше приближенным допущением, будет стремиться к нулю, если длины всех участков стремятся к нулю. Таким образом, обозначая через X наибольшую из длин для получения точной формулы остается лишь перейти к пределу:

Станем же изучать вообще пределы этого рода и, отвлекаясь от рассмотренной задачи, возьмем произвольную «функцию точки» заданную вдоль непрерывной простой спрямляемой кривой и повторим указанный процесс: разбив кривую (К) на элементарные дуги и выбрав на них произвольно по точке вычислим значения в них и составим сумму

она представляет собой также своего рода «интегральную сумму».

Аналогичный процесс может быть применен и в случае замкнутой кривой, если за точку выбрать любую ее точку, а остальные точки расположить в соответствии с тем или другим направлением на кривой [246].

Если при стремлении а к нулю интегральная сумма имеет определенный конечный предел 1, не зависящий ни от способа дробления кривой (К), ни от выбора точек на участках то он называется криволинейным интегралом (первого типа) от функции взятым по кривой или по , и обозначается символом

(где есть длина дуги кривой и напоминает об элементарных длинах Точную характеристику предельного процесса можно предоставить читателю.

Таким образом, полученное выше выражение для массы материальной кривой может быть переписано так:

Отметим особо, что в приведенном определении не играет никакой роли направление, которое может быть придано пути (К). Если, например, эта кривая не замкнута и под и разуметь разно направленные кривые, то

Аналогично рассмотренному, мы могли бы ввести понятие интеграла, распространенного на пространственную кривую (К):

Ввиду отсутствия новых принципиальных моментов нет надобности вдаваться здесь в подробности.