562. Случай неодносвязной области или наличия особых точек.

Вся теория, развитая в настоящем параграфе и связанная с использованием условия интегрируемости (А), основана на предположении, что 1) рассматриваемая область (D) одно связна, т. е. лишена «дырок»,

и 2) функции Р и вместе со своими производными и в области непрерывны. Если эти условия нарушены, то высказанные выше утверждения, вообще говоря, перестают быть верными. Разобраться в представляющихся при этом особенностях и составляет цель этого п°.

Отметим, что «особые» точки, в которых нарушены условия непрерывности 2), тоже могут трактоваться, если их выключить из области, как своего рода точечные «дырки». Таким образом, вопрос сводится к рассмотрению области (D), в которой выполнены все требования непрерывности и условие (А), но зато имеется одна или несколько «дырок», точечных или нет. Впрочем, для определенности в дальнейшем изложении мы предпочтем ограничиться именно случаем точечных «дырок», т. е. особых точек.

Общий случай трактуется совершенно аналогично.

Рис. 23.

Предположим сначала, что область (D) содержит одну особую точку М (но не имеет других «дырок»). Возьмем в этой области простой замкнутый контур и рассмотрим интеграл (9)

Если этот контур не охватывает особой точки, то интеграл по-прежнему равен нулю. Если же точка М лежит внутри контура (I), то интеграл может оказаться и отличным от нуля.

Весьма замечательно, однако, что все интегралы, взятые в положительном направлении [548] по всевозможным контурам указанного типа, окружающим точку М, равны между собой.

В самом деле, рассмотрим два кусочно-гладких контура окружающих точку Можно считать их взаимно не пересекающимися, ибо в противном случае мы ввели бы третий контур охватывающий оба контура и не пересекающий их, и рассмотрели бы отдельно пары контуров

Кривые вместе составляют контур кольцеобразной области , заключенной между ними (рис. 23). С помощью двух разрезов и разобьем эту область на две уже односвязные части Тогда мы имеем право писать:

и

При складывании интегралы, взятые по разрезам в противоположных направлениях, взаимно уничтожатся, и мы получим

откуда, наконец,

причем последние интегралы берутся оба в положительном направлении. Наше утверждение доказано.

Обозначим общее значение всех подобных интегралов через а; его называют циклической постоянной, отвечающей особой точке Покажем теперь, что если — любой замкнутый контур в области (D), хотя бы и пересекающий себя, но не проходящий через особую точку то

где есть целое число (положительное, отрицательное или нуль). Это очевидно для многоугольного контура, так как он распадается на конечное число не пересекающих себя замкнутых многоугольных контуров, вдоль каждого из которых интеграл равен нулю или о. В общем же случае мы снова воспользуемся леммой, установленной в п° 550 (и замечанием к ней) и прибегнем к предельному переходу, исходя из вписанной в кривую ломаной. Так как выражение вида (при и целом ) может стремиться к конечному пределу лишь того же вида (с тем, что число в конце концов перестает изменяться), то формула (12) оказывается верной для любого контура

Перейдем теперь к рассмотрению интеграла по кривой, соединяющей точки области (D), но не проходящей через особую точку. Если есть одна из таких кривых, а — любая другая, то вместе составят замкнутый контур, так что, в силу (12),

откуда

Здесь интеграл реально зависит от пути интегрирования, но лишь в смысле прибавления целого кратного циклической постоянной . Присоединяя к кривой то или иное число петель, окружающих точку М (рис. 24), можно добиться того, чтобы множитель принял любое наперед выбранное целое значение.

Иными словами, в рассматриваемом случае символ

при заданных А и В уже не является (если ) однозначным; он определен с точностью до слагаемого вида по, где

Рис. 24.

Если точку В заменить переменной точкой то интеграл

по-прежнему представит первообразную функцию для выражения непрерывную (исключая, конечно, точку М), но многозначную. Важно дать себе отчет в существенном отличии рассматриваемого случая от изученного выше [556, 558, 559]. И там можно было бы говорить о «многозначности» первообразной, поскольку последняя содержала в своем выражении произвольную постоянную. Однако стоило лишь фиксировать эту постоянную, чтобы получить однозначную функцию во всей рассматриваемой области; никакой принудительной связи между отдельными «ветвями» многозначной первообразной там не было. Здесь же «ветви», разнящиеся на кратное циклической постоянной, уже нельзя рассматривать обособленно, ибо при вращении вокруг особой точки они непрерывным образом переходят одна в другую.

Для иллюстрации всего изложенного здесь в качестве примера положим

Эти функции с их производными непрерывны во всей плоскости за исключением начала координат , которое, таким образом,

является единственной особой точкой. Непосредственно проверяется, что условие интегрируемости везде (разумеется, кроме начала координат) выполнено:

Легко вычислить, что интеграл

взятый в положительном направлении по любой окружности с центром в начале, равен Такова здесь циклическая постоянная, отвечающая начальной точке.

Первообразная для дифференциального выражения

легко угадывается: это — полярный угол в чем легко убедиться, если подставить сюда . Следовательно, общий вид первообразной будет Однако с каким бы значением полярного угла мы не исходили в данной точке плоскости, отличной начала, если заставить точку сделать оборотов вокруг начала в ту или другую сторону, угол непрерывно изменяясь, получит при возвращении точки в исходное положение приращение кратное циклической постоянной. Таким образом, если рассматривать здесь первообразную во всей плоскости или в ее части, содержащей внутри начало координат (конечно, само начало исключается), то приходится считаться с многозначностью, как с неотъемлемым ее свойством: ветви ее, разнящиеся на целое кратное в известном смысле неотделимы.

Изложенное исследование читатель без труда распространит и на случай, когда налицо несколько особых точек или «дырок». Пусть, например, имеется особых точек

Если А и В — две (отличные от особых) точки области и через обозначена какая-либо определенная кривая, соединяющая эти точки (и не проходящая через особые точки), то общая форма интеграла по любой подобной же кривой будет

Здесь есть циклическая постоянная, отвечающая

особой точке т. е. величина интеграла

взятого в положительном направлении по простому замкнутому контуру содержащему внутри себя особую точку и не содержащему других особых точек. Коэффициенты независимо друг от друга могут принимать любые целые значения.

Рис. 25.