561. Интегралы по замкнутому контуру.

До сих пор мы рассматривали криволинейный интеграл (1)

и изучали тот важный класс случаев, когда этот интеграл не зависит от пути интегрирования. Обратимся теперь к рассмотрению интеграла

взятого по любому простому замкнутому контуру в пределах области (D), и поставим вопрос об условиях, при которых этот интеграл всегда обращается в нуль. Оказывается, что этот вопрос совершенно эквивалентен вопросу, решенному выше: если при данном дифференциальном выражении (2) интеграл (1) не зависит от пути, то интеграл (9) всегда равен нулю, и обратно.

Рис. 22.

Действительно, предположим сначала независимость интеграла (1) от пути. Если есть любой простой замкнутый контур в области (D) (рис. 22), то произвольно взятыми на нем точками А и В разложим его на части (АМВ) и Так как интегралы по этим кривым должны быть равны:

то отсюда

Пусть теперь, обратно, дано, что интеграл (9) по простому замкнутому контуру всегда равен нулю. Взяв две точки А и В, соединим их двумя путями (АМВ) и из них составится замкнутый контур

Легким будет случай, когда линии (АМВ) и кроме точек А и В, общих точек не имеют; тогда контур сам себя не пересекает, т. е. оказывается простым.

Если же кривые (АМВ) и взаимно пересекаются, то замкнутая кривая уже не будет простой.

Однако, как показывает следующая лемма, можно все же ограничиться рассмотрением интегралов по простым (т. е. не пересекающим себя) замкнутым контурам.

Лемма. Если интеграл (9) равен нулю, по какому бы простому (т. е. не пересекающему себя) замкнутому контуру его ни взять, то он будет нулем и при всяком замкнутом контуре, хотя бы и самопересекающемся.

В силу леммы, установленной в п° 550, достаточно доказать это утверждение для любой замкнутой ломаной, хотя бы и самопересекающейся. Пусть (I) и будет такая ломаная, определенным образом направленная. Исходя из некоторой ее точки и следуя направлению ломаной, опишем часть ломаной до первого самопересечения — в точке Отбросив получившуюся замкнутую ломаную продолжим путь до нового самопересечения, что позволит выделить еще одну замкнутую ломаную (Ц), и т. д. После конечного числа шагов ломаная (I) окажется распавшейся на конечное число не пересекающих себя замкнутых ломаных

вдоль по которым интеграл заведомо нуль. Значит, он равен нулю и вдоль ломаной (I), что и требовалось доказать.

Таким образом, нами доказана полезная

Теорема 4. Для того чтобы криволинейный интеграл (1) не зависел от пути, необходимо и достаточно, чтобы интеграл (9) по любому замкнутому контуру был равен нулю. При этом условие остается достаточным и в том случае, если ограничиться лишь простыми (т. е. не пересекающими себя) замкнутыми контурами.

Теперь ясно, что об обращении в нуль интеграла (9) по замкнутому пути можно судить с помощью того же критерия, который в теореме 3 был установлен для независимости интеграла (1) от пути:

Теорема 5. Для того чтобы интеграл (9), по какому бы замкнутому контуру в пределах области (D) его ни взять, обращался в нуль, необходимо, а в случае односвязности области (D) и достаточно выполнение условия (А). Это условие остается необходимым и в том случае, если ограничиться лишь простыми (т. е. не пересекающими себя) замкнутыми контурами.

Ниже [601], располагая более развитым аппаратом (двойные интегралы, формула Грина), мы вернемся к вопросам, рассмотренным в настоящем параграфе, и некоторые из установленных здесь результатов получим вновь и притом более экономным образом.