747. Риманов метод суммирования тригонометрических рядов.

Важную роль в дальнейшем играет развитый Рим а ном метод суммирования тригонометрических рядов:

Этот метод не предполагает вовсе, что ряд (4) является рядом Фурье для какой-либо функции, и может быть приложен к совершенно произвольному тригонометрическому ряду, лишь бы коэффициенты его были ограничены в их совокупности:

Формально проинтегрировав ряд (1) почленно дважды, получим ряд:

При выполнении условия (5) этот ряд мажорируется сходящимся рядом

и, следовательно, в любом промежутке изменения х сходится равномерно и определяет непрерывную функцию Если для нее в данной точке х существует конечный предел

т. e. обобщенная вторая производная то последнюю и называют «обобщенной суммой» ряда (1) в смысле Римана.

Если для примера применить этот метод к ряду

то здесь

Вспоминая [664, 9)], что для суммой ряда, стоящего справа, будет имеем

Поэтому для очевидно, и «обобщенной суммой» ряда оказывается нуль [ср. 418 и 420].

Легко проверить, что

и

Отсюда

Таким образом, метод суммирования Римана сводится к умножению членов ряда (4) на множители вида и к предельному переходу при

В такой форме метод Римана может быть приложен и к совершенно произвольному ряду

Если

по крайней мере для достаточно малых , сходится, и его сумма при стремится к пределу то это и будет «обобщенной суммой», исходного ряда.

Читатель видит, что метод Римана подходит под общую схему п° 426. Роль параметра х в этом случае играет (при ), а множители

удовлетворяют обоим сформулированным там требованиям. Это очевидно по отношению к первому.

Что же касается второго, то, учитывая, что

и

будем иметь

Существование этого интеграла легко проверить, ибо

при

Таким образом, метод обобщенного суммирования Рима на оказывается регулярным. Этот факт применительно к тригонометрическим рядам и формулирует

Первая теорема Римана. Если тригонометрический ряд (4) в точке х сходится к сумме то функция полученная из него формальным почленным интегрированием дважды, имеет в этой точке обобщенную вторую производную, равную

Заметим, что для случая ряда Фурье выражение

легко преобразуется к виду интеграла изученного в п° 740 типа и притом С «положительным ядром». Таким путем для риманова метода суммирования может быть установлена теорема, совершенно аналогичная теореме Шварца [741] и теореме Фейера [743], на чем мы останавливаться, однако, не будем: для нас метод Римана важен как мощное орудие исследования тригонометрических рядов общего вида. На этом пути нужна будет и

Вторая теорема Римана. Если коэффициенты ряда (4) стремятся к нулю, то независимо от сходимости ряда выполняется условие (2):

Положим при любом фиксированном х

Тогда вопрос приводится к доказательству соотношения

По условию теоремы т. е. для произвольно заданной найдется такой номер , что при будет . Представим

теперь интересующее нас выражение в виде суммы двух выражений

Имеем:

Легко показать, что множитель при ограничен независимо от . Мы видели, например, что

[494, 4)]. Следовательно,

Что же касается выражения то оно, очевидно, стремится к нулю вместе с А и становится при достаточно малом по абсолютной величине меньшим, чем е. Отсюда в совокупности и вытекает утверждение (8).