§ 3. Единственность тригонометрического разложения функции

746. Вспомогательные предложения об обобщенных производных.

Чтобы ниже не прерывать изложения важного вопроса, указанного в заголовке, мы предпошлем ему ряд вспомогательных соображений.

Пусть в некотором промежутке задана функция Возьмем значение х между а и тогда для достаточно малых имеет смысл разность . Если существует конечный предел

его называют обобщенной («симметрической») производной функции в точке х. Лишь только существует производная в обычном смысле, необходимо существует и обобщенная производная ей равная; это непосредственно видно из следующего соотношения: при

Однако обобщенная производная может существовать в некоторых случаях, когда обыкновенной производной нет. Примером тому служит функция

известно [102, 1°], что в точке производной она не имеет; обобщенная же производная ее в этой точке равна нулю.

Рассмотрим, далее, вторую разность

Если существует конечный предел

его называют обобщенной второй производной функции в рассматриваемой точке х. И здесь можно доказать, что в случае существования обычной второй производной существует и равна ей обобщенная производная. Действительно, если к двум функциям от применить формулу Коши:

то, в силу сказанного выше об обобщенной (первой) производной ясно, что при полученное выражение стремится к . Пример функции

[см. 101, 2°] показывает, что обратное утверждение неверно: существование обобщенной производной не влечет за собой обязательно существования обычной производной

Следующая теорема устанавливает, что обобщенная вторая производная в некоторых случаях может играть ту же роль, что и обыкновенная

Теорема Шварца. Если для непрерывной в промежутке функции обобщенная вторая производная существует в ну три промежутка и равна нулю, то будет линейной функцией (совсем так, как если бы было дано, что обыкновенная производная ).

Для доказательства возьмем произвольное число и построим вспомогательную функцию

причем наши рассуждения будут в равной мере относиться к обоим знакам перед скобками. Тогда внутри промежутка имеем

ибо для функции обобщенная вторая производная равна нулю, а для квадратичной функции — ее обыкновенной второй производной. Функция на концах промежутка обращается в нуль. Покажем, что внутри промежутка она не может принимать положительных значений. Действительно, в противном случае как непрерывная функция, достигала бы своего наибольшего (положительного) значения в некоторой внутренней точке Но тогда мы имели бы

и, наконец,

вопреки равенству

Итак, для всех х, т. е.

и притом, какой бы знак, плюс или минус, ни взять перед скобками. Поэтому и

Ввиду произвольности отсюда следует, что левая часть неравенства есть нуль, так что

что и требовалось доказать.

Иной раз условие оказывается удовлетворенным повсюду, за исключением отдельных «точек неизвестности», где про выполнение его ничего не дано. Тогда находит применение

Обобщенная теорема Шварца. Пусть для непрерывной в промежутке функции производная существует и равна нулю повсюду внутри промежутка, за исключением конечного числа «точек неизвестности»

Если в каждой из этих, точек выполняется хотя бы облегкенное условие

то функция все же будет в промежутке линейной.

По предыдущей теореме функция наверное будет линейной функцией от х между двумя исключительными значениями, так что, скажем, в промежутке имеем

а в смежном промежутке

При этом в точке оба выражения совпадают:

Условие (2) для дает

Но левая часть здесь выражает попросту разность угловых коэффициентов прямых Итак, а тогда из (3) и т. е. оба прямолинейных отрезка составляют на деле продолжение один другого. Так как сказанное относится к любым двум смежным отрезкам, то график нашей функции во всем промежутке будет прямая, и функция оказывается линейной.