756. Примеры.

Начнем с примера переменной х, у которой область изменения непосредственно упорядочена.

1) Пусть будет любое множество вещественных чисел с точкой сгущения а, упорядоченное по убыванию [см. пример 3) п° 754]. Очевидно, соответствующая переменная х имеет пределом а: какое бы ни взять, в X найдется отличное от а, такое, что а тогда для и подавно

Аналогично, если имеет точку сгущения и множество это упорядочить по возрастанию [см. пример 4) п° 754], то

Чаще встречаются, однако, случаи, когда значения переменной поставлены в соответствие «пометкам» Р из некоторого упорядоченного множества Приводимые ниже примеры этого рода имеют особую важность: они показывают, что изученные в нашем курсе различные виды пределов действительно могут быть рассматриваемы как частные осуществления изложенного выше общего определения.

2) Рассмотрим понятие предела функции [52]

ограничиваясь для простоты случаем конечных а и А.

Пусть функция определена в области имеющей точку сгущения а; значение а само в X не входит или, по крайней мере, не учитывается при определении предела (1). Эта функция и есть здесь та переменная, о пределе которой идет речь, х же играет

роль «пометки» Р. Условимся понимать указание а в том смысле, что область изменения х упорядочена по убыванию Тогда соответственным образом упорядочивается и множество значений функции и равенство (1) — в согласии с общим определением — приобретает определенный смысл. Именно, оно означает, что по заданному всегда найдется такое значение из что неравенство

выполняется для , т. е. лишь только

Положив последнее условие можно записать так: Обратно, если неравенство (2) имеет место при то, взяв под условием можно утверждать, что (2) выполняется для хе. Таким образом, новое определение предела функции равносильно прежнему [52].

3) Определение предела функции двух переменных

может быть выражено в терминах упорядоченной переменной совершенно аналогично.

Пусть функция определена в области с точкой сгущения сама эта точка при определении равенства (3) в расчет не берется. Точки из играют роль «пометок». Упорядочив множество так, как это сделано в п° 754, 5) (именно в этом смысле мы уславливаемся понимать указание или мы тем самым упорядочиваем и множество значений функции Тогда равенство (3) приобретает смысл — в согласии с общим определением предела упорядоченной переменной.

И здесь сразу видно, что новое понимание равенства (3) равносильно прежнему [165].

Определение предела по существу останется тем же, если вместо закона упорядочения множества указанного в 754, 5), положить в основу те правила, которые были проведены в 6).

4) Для переменной зависящей от двух натуральных значков понятие предела

строится на таком законе упорядочения пар

[см. 754, 7)]. Оно совпадает с тем определением, о котором была речь в конце п° 165.

Тот же результат получился бы, если бы мы исходили и из более простого, также упомянутого в 7), правила упорядочения

Распространение всего сказанного на случай функций от нескольких переменных не представляет затруднений.

5) Обратимся, наконец, к вопросу о пределе сумм Римана или Дарбу для заданной в промежутке ограниченной функции Эти суммы связаны с разбиением промежутка на части с помощью произвольных точек деления

причем предельный процесс направляется тем, что где мы уже упорядочивали множество всевозможных разбиений промежутка на части убыванию X. Соответственно этому упорядочиваются и значения сумм Дарбу,

Для построения римановой суммы а, кроме разбиения промежутка на части, нужно еще выбрать в каждой части по точке. Таким образом, риманова сумма характеризуется набором не Только точек деления, но и промежуточных точек; эти наборы (а с ними и римановы суммы) также можно упорядочить по убыванию X.

Теперь уже ясно, что пределы

подходят под общую схему, развитую здесь.

Заметим попутно, что те же, по существу, пределы получились бы во всех случаях, если бы в основу упорядочения множеств было положено и правило 9) п° 754. В виде упражнения предлагается читателю доказать это, опираясь на результаты пп° 297 и 301.

Аналогично исчерпывается вопрос о пределах, рассмотренных при определении длины дуги [330], площади плоской фигуры [336] криволинейных, двойных и поверхностных интегралов [544, 550, 589, 631, 635] и т. д.