755. Упорядоченная переменная и ее предел.

Рассмотрим теперь переменную х с областью изменения Можно представить себе, что непосредственно эта область упорядочена (в собственном или обобщенном смысле) или — белее общо — что значения х из поставлены в однозначное соответствие элементам Р некоторого упорядоченного множества состоящего из объектов любой природы. В этом случае и сама переменная х называется упорядоченной.

Сообразно с упорядочивается и множество значений именно, считают, что

Это есть воспроизведение в общей, форме того, что мы имели для варианты значения которой ставились в соответствие числам натурального ряда — «номерам» — и располагались по возрастанию их

Умея различать элементы Р множества мы различаем и значения нашей переменной по этим «пометкам» Р. В этих условиях мы допускаем (как и в случае варианты) возможность и равных значений с различными «пометками».

Подчеркнем особо, что, говоря об упорядоченной переменной, мы по существу не связываем с этим никаких представлений о расположении ее значений в пространстве или во времени. Следующее значение не занимает «более далекого места», чем предыдущее; следующее значение не принимается переменной «позже» предыдущего и т. д. Если же, тем не менее, обычно позволяют себе употреблять выражения вроде «начиная с некоторого места» или «с некоторого момента изменения» и т. п., то делается это лишь для образности языка.

Определение предела упорядоченной переменной (или — как иногда говорят — предела упорядоченного множества совершенно аналогично определению предела варианты (или последовательности):

переменная имеет конечный предел а, если для каждого числа найдется такая «пометка» Р, из что для всех соответствующие значения удовлетворяют неравенству

В определении п° 23 роль играло, очевидно, ведь соотношение равносильно неравенству

Точно так же дается определение и бесконечного предела:

переменная имеет предел если для каждого числа найдется такая «пометка» из что

лишь только

Легко перефразировать последнее определение для случая, когда речь идет о бесконечности определенного знака, или —

При этом пишут, как обычно:

Обратимся к примерам.