760. Упорядочение с помощью числового параметра.

Во всех встречавшихся нам случаях применения в анализе понятия предела упорядочение множества «пометок» для значений переменной осуществлялось однообразно. В общем виде применявшийся способ упорядочивания может быть описан следующим образом.

Каждому элементу Р из ставится в соответствие значение t некоторого параметра, причем и многим Р может отвечать одно и то же множество всех таких Р обозначим через Предположим, что все и существуют сколь угодно малые значения t, для которых не пусто.

Условимся теперь что из двух элементов Р считается следующим то, которому отвечает меньшее значение параметра t (т. е. расположим элементы Р «по убыванию параметра»). Для двух элементов Р, которым отвечает одно и то же t, так что они входят в одно и то же множество (равно как и для соответствующих им значений порядок не устанавливается. При этом будут соблюдены все условия I, II, III. Это очевидно по отношению к I, II; проверим выполнение III. Пусть — любые два элемента из множества и им отвечают значения параметра. По предположению, найдется такое значение меньшее, чем для которого не пусто. Тогда любое Р из будет следующим и за Р, и за Р.

Читатель легко проверит, что все известные ему случаи использования понятия предела подходят под эту схему. Для варианты

с «пометкой» , можно принять Если речь идет о функции и ее пределе при то множество «пометок» х упорядочивается по убыванию параметра Также и в случае функции двух переменных, где роль «пометки» играет точка определяя предел функции при можно охарактеризовать процесс с помощью любого из параметров

или

Для сумм Дарбу

«пометкой» служит набор точек деления; при переходе к суммам Римана

к нему присоединяется еще набор точек . В обоих случаях эти «пометки» упорядочиваются с помощью параметра При определении длины дуги параметром служит наибольший из диаметров частичных дуг и т. д.

Во всех случаях, когда область изменения переменной х или — вернее — множество «пометок» упорядочены указанным выше образом с помощью числового параметра t, очевидно, определение предела (мы ограничиваемся случаем конечного предела) может быть дано в следующем виде: число а является пределом х, если каждому числу отвечает такое что

лишь только соответствующее ему значение параметра

Упорядочением с помощью числового параметра мы пользовались и в третьем томе. Однако этот простой способ упорядочивания все же не покрывает потребностей математического анализа в его более высоких ветвях. В качестве примера такого упорядочения, которое вообще нельзя осуществить подобным путем (с привлечением числового параметра), можно привести правило 9) п° 764: это станет ясным из рассмотрений следующего п°.