759. Одинаково упорядоченные переменные.
Для обобщения таких утверждений, в которых участвуют одновременно две (или несколько) переменных, введем понятие одинаково упорядоченных переменных. Так называются две переменные 
которые могут быть упорядочены с помощью одного и того же упорядоченного множества 
с элементами которого их значения ставятся в однозначное соответствие (соответствующими мы будем считать их значения 
с одинаковыми «пометками» Р).
Если, например, имеем две функции 
от одной и той же независимой переменной х, с упорядоченной областью изменения X, то эти функции будут одинаково упорядоченными переменными. Соответствующими будут те их значения, которые определяются одним и тем же значением х (оно и играет роль «пометки» Р).
Вот другой пример. Пусть для функции 
определенных в некотором промежутке 
построены интегральные суммы
Здесь соответствующими следует, очевидно, считать суммы, определяемые одним и тем же набором точек деления 
и промежуточных точек 
этот набор играет в рассматриваемом случае роль «пометки» 
если упорядочить их, а с ними и суммы 
по убыванию 
то снова получим одинаково упорядоченные переменные.
Соединяя теперь две переменные х, у знаками равенства или знаками арифметических действий, мы будем предполагать эти переменные одинаково упорядоченными и подразумевать, что речь идет о соответствующих значениях их, 
с одинаковыми «пометками». Обращаясь с этими пометками, как раньше обращались с номерами 
значений варианты, легко воспроизвести все прежние рассуждения, относившиеся к вариантам.
Для примера докажем предложение, обобщающее лемму 2 п° 29:
Если переменная 
ограничена 
крайней мере, начиная с некоторого места), а одинаково с нею упорядоченная переменная 
— бесконечно малая, то и их произведение будет бесконечно малой.
Пусть же
скажем, для 
. Задавшись произвольным 
по числу найдем такое 
что для 
будет
В согласии с условием III, существует такое 
что
Если 
то (в силу II) одновременно
так что выполняются сразу оба предыдущих неравенства, а тогда
что и доказывает наше утверждение.
После приведенных примеров читателю ясно, что вся теория пределов (с сохранением основных линий в доказательствах) действительно переносится на общий случай упорядоченных переменных.
