564. Трехмерный случай.

Все проведенное выше исследование может быть повторено и для трехмерного случая.

Пусть в некоторой трехмерной области (V) определены и непрерывны три функции: станем

рассматривать криволинейный интеграл

по произвольной лежащей в этой области кривой Рассуждения пп° 556 и 557 переносятся на рассматриваемый случай непосредственно и без изменений. Таким образом, и здесь имеет место теорема, аналогичная теореме 1 п° 555: вопрос о независимости интеграла (13) от пути интегрирования приводится к вопросу о том, будет ли дифференциальное выражение

точным дифференциалом, т. е. будет ли существовать такая («первообразная») функция полный дифференциал которой

совпадает с выражением (14).

Отметим попутно, что если такая функция существует, то интеграл (13) выражается разностью двух ее конечных значений;

Затем, как и выше, встает вопрос о признаках точного дифференциала. Допустим существование в области (V) непрерывных производных

Тогда, если выражение (14) есть дифференциал некоторой функции так что имеют место равенства

то

Все эти производные, по предположению, непрерывны; а тогда [191] имеют место равенства

Таким образом, какова бы ни была область (V), условия (Б) являются необходимыми для того, чтобы выражение (14) было точным дифференциалом, а следовательно, и для того, чтобы интеграл (13) не зависел от пути.

Переходя к вопросу о достаточности этих условий, мы ограничимся здесь случаем, когда область (У) есть прямоугольный параллелепипед

Здесь мы повторим построения п° 558.

Для определения функции из условий (16), проинтегрируем первое из них по х между считая у и z произвольно фиксированными в соответствующих промежутках. Мы получим

Полагая во втором из уравнений и интегрируя по у от до найдем

Наконец, интегрируем третье уравнение (16), полагая в нем по z от до

Если постоянное значение которое, очевидно, остается произвольным, обозначить через С, то окончательно придем к такому выражению для искомой функции:

Применяя, в случае надобности, правило Лейбница, теперь легко проверить, что эта функция, действительно, удовлетворяет всем условиям (16).

Это непосредственное построение первообразной убеждает нас в том, что, по крайней мере, для параллелепипедальной области (V) условия (Б) достаточны для того, чтобы выражение (14)

было точным дифференциалом, а значит а для того, чтобы интеграл (13) не зависел от пути.

Распространение на общий случай возможно и здесь, с тем лишь, что область (V) удовлетворяет некоторому условию (аналогичному односвязности плоской области). Но так как на этот раз проведение всех рассуждений представляет трудности, мы от него отказываемся. Ниже [641], после ознакомления с поверхностными интегралами и формулой Стокса, мы к этим вопросам вернемся.