563. Интеграл Гаусса.

В некоторых вопросах математической физики приходится рассматривать криволинейный интеграл первого типа:

связываемый с именем Гаусса. Здесь через обозначена длина

вектора, соединяющего внешнюю точку с переменной точкой кривой (I) (рис. 25), через — угол между этим вектором и нормалью к кривой в точке М.

Так как точка А неизменна, то подинтегральное выражение представляет собой функцию от координат х, у точки М. Представим интеграл Гаусса в форме криволинейного интеграла второго типа. Если суть углы между положительным направлением оси х и направлениями радиуса-вектора и нормали, то, очевидно,

так что

Подставляя это в интеграл Гаусса, приведем его к виду

Если же воспользоваться формулой (15) п° 353, то и получим искомое выражение интеграла в виде криволинейного интеграла второго типа:

где двойной знак отвечает тому или иному выбору направления нормали.

Функции равно как и их производные, непрерывны во всей плоскости за исключением точки А, где Во всех точках, отличных от А, удовлетворяется условие интегрируемости. Действительно,

так что эти производные равны.

Если кривая (1) замкнута, но не охватывает точки А (и не проходит через нее), то необходимо . Если же замкнутая кривая охватывает точку А, то интеграл Гаусса может быть и отличным от нуля, но, как мы видели в предыдущем его значение должно быть одним и тем же для всех таких кривых. Для выяснения этого значения возьмем в качестве кривой окружность радиуса с центром в точке А. Тогда

(если считать, что нормаль и радиус-вектор имеют одно и то же направление), так что

Итак, для каждой замкнутой кривой внутри которой находится точка А, будет

если нормаль направить во внешнюю сторону, как мы это сделали в случае окружности.

Полученные результаты можно было бы легко предвидеть, если предварительно установить геометрический смысл интеграла Гаусс есть мера угла, под которым видна из точки А кривая (если угол, описываемый радиусом-вектором, идущим из А, при обходе кривой брать со знаком).

Рис. 26.

Для обнаружения этого обстоятельства, предположим сначала, что кривая пересекается с каждым исходящим из А лучом не более чем в одной точке (рис. 26). Пусть, далее, нормаль к кривой направлена в сторону, противоположную точке А, так что

Возьмем на кривой (I) элемент и определим угол, под которым этот элемент виден из точки А. Если М есть (например, начальная) точка этого элемента, то опишем вокруг А окружность радиусом и спроектируем на эту окружность элемент Пусть элемент окружности, который

служит проекцией элемента будет . Так как угол между ними (считая оба элемента приближенно прямолинейными) равен углу то

С другой стороны, очевидно,

где есть центральный угол, отвечающий дуге т. е. именно тот угол, под которым элемент виден из точки А. Отсюда имеем для этого элементарного угла видимости выражение

Наконец, суммируя все элементарные углы, мы получим, что угол видимости для всей кривой как раз и выражается интегралом

Если кривая пересекается лучами, исходящими из точки А, более чем в одной точке, но может быть разбита на части, каждая из которых пересекается этими лучами уже лишь в одной точке, то нужно лишь просуммировать интегралы Гаусса, относящиеся к этим частям.

Выберем на кривой определенное направление, а нормаль будем направлять, например так, чтобы угол между положительно направленной касательной и нею был Тогда в одних частях кривой нормаль окажется направленной в сторону, противоположную точке А, и интеграл Гаусса даст угол видимости с плюсом, в других же частях нормаль будет направлена в сторону точки А, и угол видимости получится с минусом. В общем интеграл Гаусса в этом случае даст алгебраическую сумму углов видимости. Впрочем, именно эту сумму и называют углом видимости для всей кривой (I), понимая, таким образом, под углом видимости полную меру вращения луча зрения от начала к концу кривой.

Рис. 27.

Если кривая замкнута и окружает точку А, то непосредственно ясно, что угол видимости кривой есть . Если же замкнутая кривая не охватывает точку А, то углы видимости, взаимно уничтожаясь благодаря разнице знаков, в сумме дают нуль. Для простого случая, изображенного на рис. 27, кривая распадается на две части: видные из А под одним и тем же углом; но для кривой этот угол получается с плюсом, а для — с минусом.

Все это полностью согласуется со сказанным выше.

Замечание. Геометрическая трактовка интеграла Гаусса позволяет усмотреть, что в случае, когда замкнутая кривая проходит через точку А и в этой точке имеет касательную, значение интеграла будет Если точка А будет угловой и угол между односторонними касательными в ней равен а, то таково же будет и значение интеграла Гаусса. Для аналитического обоснования указанного результата следовало бы сначала выделить из некоторую окрестность точки А, а затем перейти к пределу, сжимая эту окрестность.