590. Классы интегрируемых функций.

С помощью установленного выше признака интегрируемости легко доказать:

1. Всякая непрерывная в области (Р) функция интегрируема.

Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области (Р), то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое что в любой части области (Р) с диаметром, меньшим чем 8, колебание функции будет меньше чем Пусть теперь область (Р) разложена на части диаметры которых все меньше 8. Тогда все колебания и

откуда и следует выполнение условия (6). Этим интегрируемость функции доказана.

Замечание. Теперь легко уже придать полную строгость выводу формулы для объема цилиндрического бруса. Это делается совершенно так же, как и при выводе интегральной формулы для площади криволинейной трапеции [329] — с привлечением входящих и выходящих тел, объемы которых выражаются суммами Дарбу.

Для того чтобы несколько расширить класс функций, для которых установлена интегрируемость, мы будем нуждаться в следующей лемме.

Лемма. Пусть в области (Р) задана некоторая кривая имеющая площадь 0. Тогда каждому отвечает такое что, лишь только область (Р) разложена на части с диаметрами, меньшими , сумма площадей тех из них, которые имеют с общие точки, будет меньше .

По предположению, кривую можно погрузить в многоугольную область с площадью, меньшей чем . Сделать это можно так, чтобы кривая и контур (К) упомянутой области не имели общих точек. Тогда расстояние между переменными точками обеих кривых достигает своего наименьшего значения

Рис. 37.

Разложим теперь область (Р) по произволу на части так, чтобы диаметры их были . Те из них, которые задевают кривую необходимо целиком будут лежать в области следовательно, общая их площадь меньше

II. Если ограниченная функция имеет разрывы разве лишь на конечном числе кривых с площадью 0, то она интегрируема.

Зададимся произвольным числом По предположению, все «линии разрыва» функции можно заключить внутрь многоугольной области с общей площадью в. На рис. 37 эта область покрыта штриховкой. Границей ее служит конечное число ломаных которые, очевидно, сами имеют площадь 0.

В замкнутой области, получающейся из (Р) выделением внутренности области функция сплошь непрерывна, значит и равномерно непрерывна. Следовательно, по заданному найдется такое число 0, что во всякой части этой области, диаметр которой меньше колебание функции будет в.

Теперь, в силу леммы, можно найти и такое что всякий раз, как область (Р) произвольными кривыми разлагается на части с диаметрами, меньшими чем , сумма площадей тех из них, которые задевают совокупность ломаных — границу выделенной многоугольной области — наверное будет .

Пусть будет наименьшее из двух чисел Разложим область (Р) на части диаметры которых меньше , и рассмотрим соответствующую сумму

Разобьем ее на две суммы:

предполагая, что значок I отвечает таким областям которые целиком лежат вне выделенной области , а значок — всем прочим. Оценим каждую из этих сумм в отдельности.

Так как все лежат в области, полученной из (Р) выделением и диаметры их то все так что

С другой стороны, если через обозначить колебание функции во всей области (Р), то будем иметь (так как

Здесь есть сумма площадей тех из областей которые 1) либо целиком лежат в выключенной области либо задевают границу этой области. Общая площадь первых меньше ибо то же можно сказать и об общей площади вторых, поскольку область разложена на части с диаметрами, меньшими чем Итак, так что

Окончательно, при оказывается:

Так как правая часть этого неравенства произвольно мала вместе с то выполняется условие (6) и т. д.