589. Условия существования двойного интеграла.

Интегрируемая функция необходимо должна быть ограниченной. Действительно, в противном случае при любом заданном способе разложения области (Р) на части можно было бы за счет выбора точек сделать интегральную сумму произвольно большой.

Обращаясь к рассмотрению условной интегрируемости данной функции мы будем поэтому наперед предполагать ее ограниченной:

Как и в случае функции от одной переменной, здесь также удобно ввести так называемые нижнюю и верхнюю суммы Дарбу:

где означают, соответственно, точные нижнюю и верхнюю границы значений функции в области

При данном способе разложения области (Р) на части, независимо от выбора точек , будут выполняться неравенства

Но за счет надлежащего выбора этих точек можно значения сделать сколь угодно близкими к а вместе с этим сумму о сделать сколь угодно близкой к Таким образом, верхняя и нижняя суммы Дарбу являются, соответственно, точными верхней и нижней границами интегральных сумм, отвечающих тому же способу разложения области.

Для сумм Дарбу, как и в линейном случае, могут быть установлены следующие свойства.

1-е свойство. При дальнейшем дроблении частей с добавлением к старым линиям деления новых, нижняя сумма Дарбу не убывает, а верхняя — не возрастает.

2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы отвечающей и другому способу разложения области (Р).

Доказательство проводится аналогично прежнему [296]; лишь в тех случаях, когда там говорилось о точках деления, здесь приходится говорить о линиях деления.

Есть, однако, один момент, на котором нам хотелось бы задержать внимание читателя. В линейном случае каждая новая точка деления отчетливо разлагает один из старых промежутков на два; общей частью двух промежутков является тоже промежуток. В плоском случае положение усложняется тем, что две кривые могут пересекаться между собой во многих точках (и даже в бесконечном множестве точек). Поэтому связная частичная область может новой

кривой рассекаться и на несвязные части; точно так же и общей частью двух связных областей может оказаться несвязная область. Вот почему мы с самого начала не исключали из рассмотрения разложения основной области на несвязные части!

Далее устанавливаются понятия нижнего и верхнего интегралов Дарбу:

причем оказывается, что

Наконец, путем буквального воспроизведения доказательства для линейного случая [297] и здесь получается

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было

или в других обозначениях

где есть колебание функции в частичной области .