593. Интеграл как аддитивная функция области; дифференцирование по области.

Рассмотрим (замкнутую) плоскую область (Р) и содержащиеся в ней частичные (замкнутые) области (). Мы будем предполагать все области квадрируемыми (по обстоятельствам они могут подлежать и другим ограничениям). Если каждой части области (Р) сопоставляется некоторое определенное тело

то этим определяется «функция от области для указанных (). Примером такой функции от области может служить площадь области, непрерывно распределенная по ней масса, статические моменты этой массы, непрерывно распределенная нагрузка или вообще действующая на нее сила и т. п.

Если при произвольном разложении области на взаимно не налегающие части

всегда оказывается, что

то функцию от обмети называют аддитивной. Все функции, приведенные выше в виде примера, обладают этим свойством аддитивности. Аддитивные функции от области представляют особую важность, ибо часто встречаются при изучении явлений природы.

Пусть в квадрируемой области (Р) задана интегрируемая функция точки ; тогда она будет интегрируема в любой квадрируемой же части области (Р), так что интеграл

также есть функция от области . Ввиду 592, 2° и она будет, очевидно, аддитивной функцией.

Обратимся теперь к «дифференцированию функции по области». Пусть М — фиксированная точка области (Р), а — любая содержащая эту точку частичная область. Если отношение

где есть площадь области , стремится к определенному конечному пределу при безграничном убывании диаметра области , то этот предел называется производной от по об в точке М. Если например, есть масса, непрерывно распределенная по плоской фигуре , то есть не что иное, как плотность распределения масс в точке если означает силу, действующую на фигуру , то выражает удельное давление в точке М, и т.

Особый интерес для нас представляет случай, когда функция области выражается интегралом вида (10), где -непрерывная в области (Р) функция. Мы покажем, что производной по области в точке М от интеграла будет подинтегральная функция, вычисленная именно в этой точке, т. е.

Действительно, взяв область , о которой говорится в определении производной, имеем по теореме о среднем [см. (9)]

где есть некоторая точка области . Если диаметр области стремится к нулю, то точка безгранично сближается с , по непрерывности

что и требовалось доказать.

Таким образом, двойной интеграл (10) по переменной области является в особом смысле «первообразной» для подинтегральной функции точки: он восстанавливает функцию области, для которой эта функция точки служит производной по области. Естественно встает вопрос, в какой мере однозначно вообще «первообразная» определяется своей производной.

В этом направлении можно доказать такое предложение: две аддитивные функции от области, имеющие во всех точках основной области (Р) одну и ту же производную по области, тождественны.

Если перейти к рассмотрению разности дело сведется к доказательству того, что аддитивная функция области производная которой во всех точках области (Р) равна нулю, и сама тождественно обращается в нуль.

Действительно, по самому определению производной, каково бы ни было число каждую точку М области (Р) можно окружить такой окрестностью, чтобы для любой заключенной в ней части этой области, содержащей М, было

С помощью леммы Бореля [175], примененной к системе этих окрестностей, удается затем разложить область (Р) на конечное число взаимно не налегающих областей:

так, чтобы для каждой из них было

Ввиду же предположенной аддитивности функции имеем

Отсюда, в связи с предыдущим неравенством,

Но здесь произвольно, значит Этим и доказано наше утверждение, поскольку вместо (Р) могла быть взята и любая частичная область .

Сопоставляя все сказанное, мы приходим к такому заключительному утверждению: двойной интеграл (10) по переменной области представляет собой единственную аддитивную «первообразную» для стоящей под знаком интеграла функции точки,

Поэтому, например, без вычислений ясно, что по заданной плотности распределения масс в точке М вся масса, распределенная по фигуре (Р), выразится интегралом

если есть удельное давление в точке М, то вся действующая на фигуру (Р) сила будет

Замечание. Выше нам приходилось уже говорить об аддитивных функциях от промежутка [348; 684, 8)]. Так как такая функция всегда представляет собой разность двух значений некоторой функции точки, то не было надобности для «линейного» случая развивать теорию вроде изложенной выше для «плоского» случая. Однако в теореме о дифференцировании определенного интеграла по переменному верхнему пределу [305, 12°] читатель легко усмотрит аналог доказанной только что теоремы о дифференцировании двойного интеграла по области, а рассуждения п° 348 можно трактовать как доказательство того, что интеграл есть единственная аддитивная функция от промежутка, служащая «первообразной» для данной функции точки.