Таким образом, существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подинтегральной функцией вдоль конечного числа кривых с площадью 0.
2°. Если область (Р), в которой задана функция 
кривой 
(с площадью 0) разложена на две области (Р) и 
то из интегрируемости функции 
во всей области (Р) следует ее интегрируемость в частичных областях 
и обратно — из интегрируемости функции в обеих областях (Р) и 
вытекает интегрируемость в области (Р). При этом
Разложим области 
произвольным образом на части; тем самым и (Р) разложится на части:
Если значком t отметить части, содержащиеся в (Р), а значком 
части, содержащиеся в 
то
Пусть функция 
интегрируема в (Р), так что при 
стремится к нулю сумма слева; тогда каждая из сумм справа и подавно стремится к нулю, так что наша функция интегрируема также в 
Обратно, если имеет место последнее обстоятельство, так что при 
стремятся к нулю обе суммы справа, то и сумма слева также стремится к нулю. Однако нужно помнить, что она построена не для произвольного разбиения области (Р) на части: ведь мы исходили из разложения порознь областей (Р) и 
Чтобы от произвольного разложения области (Р) перейти к разложению этого частного вида, достаточно присоединить к линиям деления кривую 
Соответствующие им суммы будут разниться лишь слагаемыми, отвечающими тем элементарным областям, которые задевают кривую 
Но, по лемме п° 590, их общая площадь стремится к нулю при 
и обе суммы разнятся на бесконечно малую. Таким образом, условие (6) выполняется в полной общности, и функция 
оказывается интегрируемой в (Р).
Наконец, доказываемая формула получается переходом к пределу при 
из равенства
Аналогично, из рассмотрения интегральных сумм с помощью перехода к пределу получаются и следующие три свойства:
3°. Если умножить интегрируемую в (Р) функцию 
на постоянную 
то полученная функция также будет интегрируема, и при этом
4°. Если в области (Р) интегрируемы функции 
то интегрируема и функция 
причем
5°. Если для интегрируемых в (Р) функций 
выполняется неравенство 
то
Далее,
6°. В случае интегрируемости функции 
интегрируема и функция 
и имеет место неравенство
Интегрируемость функции 
следует из простого замечания, что колебание 
; этой функции в любой области 
не превосходит соответствующего колебания 
функции 
. Действительно, тогда
и стремление к нулю второй суммы влечет за собой стремление к нулю первой.
Доказываемое же неравенство получается предельным переходом из неравенства
7°. Если интегрируемая в (Р) функция 
удовлетворяет неравенству
то
Это получается предельным переходом из очевидного неравенства
Если разделить все части неравенств (7) на 
и через 
обозначить среднее отношение, то получим другую запись неравенства (7)
которая выражает так называемую теорему о среднем значении.
Предположим теперь, в частности, что функция 
непрерывна в (Р), и возьмем в качестве 
и М ее наименьшее и наибольшее значения в области (Р) — по теореме Вейерштрасса, 173, они существуют! Тогда по известной теореме Больцано—Коши, 171, непрерывная функция 
принимающая значения 
и М, должна пройти и через каждое промежуточное значение. Таким образом, во всяком случае в области (Р) должна найтись такая точка 
что 
и формула (8) принимает вид:
Это — особенно употребительная форма теоремы о среднем.
Так же легко переносится на рассматриваемый случай и обобщенная теорема о среднем значении 
предоставляем это читателю.
вдоль какой-либо кривой 
с площадью 0 (с тем лишь условием, чтобы и измененная функция оставалась ограниченной), то вновь полученная функция также интегрируема в (Р), и ее интеграл равен интегралу от 
задевающим кривую 
. Но, по лемме п° 690, общая площадь этих областей стремится к нулю при X. 
откуда уже легко заключить, что обе интегральные суммы стремятся к общему пределу.
