601. Приложение формулы Грина к исследованию криволинейных интегралов.

Рассмотрим односвязную [559] открытую область (О) и предположим, что в ней заданы функции Р и непрерывные вместе со своими производными Поставим вновь [561] вопрос:

какому условию должны удовлетворять функции Р и чтобы обращался в нуль криволинейный интеграл

взятый любому простому замкнутому контуру лежащему целиком в

Так как мы предположили основную область (О) односвязной, то область (D), ограниченная извне контуром (I), сама также принадлежит (О), так что мы можем применить к ней формулу Грина; тогда криволинейный интеграл (5) заменится двойным интегралом

Для того чтобы подобный интеграл всегда был равен нулю, очевидно, достаточно предположить, что

Необходимость же условия (А) может быть установлена проще всего, если, предположив интеграл (6) равным нулю, прибегнуть к дифференцированию по области [593]: подинтегральная функция, как «производная» от интеграла (6), и сама тождественно обращается в нуль.

Таким образом, с учетом леммы п° 561, мы получили новое доказательство того, что условие (А) необходимо и достаточно для обращения в нуль интегралов вида (5), взятых по любому замкнутому контуру, если только основная область односвязна [561, теорема 5]. В силу теоремы 4 п° 561 при том же предположении относительно области условие (А) оказывается также необходимым и достаточным для того, чтобы криволинейный интеграл

по кривой соединяющей точки А и В, не зависел от формы пути интегрирования [660, теорема 3].

Формула Грина позволила установить это непосредственно, минуя все рассмотрения, связанные с интегрированием точных дифференциалов. При этом по новому освещена и роль предположения об односвязности основной области.

Теперь, наоборот, отсюда с помощью рассмотрений п° 556 может быть вновь установлена достаточность условия (А) (необходимость его ясна непосредственно!) для интегрируемости выражения (теорема 2, п° 560).