§ 3. Формула Грина

600. Вывод формулы Грина.

В настоящем п° мы установим формулу, связывающую двойной и криволинейный интегралы.

Рассмотрим область (D) — «криволинейную трапецию» (рис. 59), ограниченную контуром , состоящим из кривых

и

и двух отрезков параллельных оси у.

Предположим, что в области (D) задана функция непрерывная вместе со своей производной ,

Рис. 59.

Вычислим теперь двойной интеграл

по формуле (6) п° 596; мы получим

Внутренний интеграл здесь легко вычисляется с помощью первообразной функции именно:

Таким образом,

Каждый из этих двух интегралов может быть заменен теперь криволинейным интегралом. В самом деле, вспоминая формулу (7) п° 547, видим, что

Отсюда

Желая ввести в рассмотрение интеграл по всему контуру (I) области (D), прибавим к правой части полученного равенства еще интегралы

очевидно, равные нулю, ибо отрезки перпендикулярны к оси х [см. 547]. Мы получим

Правая часть этого равенства представляет собой интеграл, взятый по всему замкнутому контуру (?), ограничивающему область (D), но в отрицательном направлении. В соответствии с соглашением, установленным нами насчет обозначения криволинейный интегралов по замкнутому контуру [548], мы можем окончательно переписать полученную формулу так:

Хотя формула эта выведена в предположении правой ориентации осей, но, как легко убедиться, она сохраняется без изменения и при

левой ориентации (лишь положительное направление обхода контура станет иным).

Выведенная формула справедлива и для областей более сложного вида, чем рассмотренная: достаточно предположить, что область (D) разлагается прямыми, параллельными оси у, на конечное число криволинейных трапеций указанного вида. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого, ибо оно проводится совершенно так же, как и в п° 551 при обобщении формулы, выражающей площадь криволинейным интегралом.

Аналогично устанавливается и формула

в предположении, что функция непрерывна в области (D) вместе со своей частной производной При этом сначала за область (D) принимается криволинейная трапеция вида, изображенного на рис. 60. Она ограничена кривыми

и

и двумя отрезками и параллельными оси х. Затем формула обобщается, как и выше, на случай области, которая разлагается прямыми, параллельными оси х, на конечное число криволинейных трапеций этого вида.

Рис. 60.

Наконец, если область (D) одновременно удовлетворяет условиям обоих случаев, т. е. разлагается как на конечное число трапеций первого типа, так и (независимо от этого) на конечное число трапеций второго типа, то для нее справедливы обе формулы (1) и (2), конечно, в предположении непрерывности функций и их производных . Вычитая формулу (1) из (2), получаем

Это и есть формула Грина (G. Green).

Формулы п° 551, выражающие площадь криволинейными интегралами, легко получаются отсюда, как частные случаи. Например, полагая

и воспользовавшись очевидным равенством придем к формуле (7) п° 551.

Как и в п° 551, здесь можно придать условиям, при которых справедлива формула (3), более обозримую форму. Именно, можно Доказать, что формула Грина имеет место для любой области ограниченной одним или несколькими кусочно-гладкими контурами.

Пусть будет общий контур нашей области. Повторяя рассуждения п° 551, впишем в ломаную (А) (имеющую две наперед фиксированные вершины) и рассмотрим ограниченную ею многоугольную область (Д). Предположим, для простоты, что функции Р и определены, непрерывны и имеют непрерывные же производные и вне области (и), скажем, в некотором — содержащем (D) внутри себя — прямоугольнике Можно считать, что и (А) содержится в Так как многоугольная область, очевидно, может быть разложена на трапеции как одного, так и другого типа, то к ней формула Грина приложима:

Когда длина наибольшей из сторон ломаной А стремится к нулю, левая часть равенства (4) стремится к левой части равенства (3), в силу леммы п° 550 (и замечания к ней).

С другой стороны, как мы видели в п° 551, ломаную (А) можно выбрать так, чтобы она лежала вне многоугольной области (А) и внутри многоугольной области (В), соответственно входящей и выходящей по отношению к (D), площади которых разнятся произвольно мало:

Можно считать, что (А) и (В) содержатся в упомянутом раньше прямоугольнике Имеем, полагая для краткости

где М есть наибольшее значение в . Отсюда ясно, что и правая часть равенства (4) при упомянутом предельном переходе стремится к правой части формулы (3). Таким образом, справедливость этой формулы установлена.