633. Примеры.

1) Вычислить поверхностные интегралы:

распространенные на поверхность эллипсоида:

Решение, (а) Если воспользоваться представлением эллипсоида:

то [629, 17)] элемент поверхности представится в виде

С другой стороны, подинтегральная функция

По соображениям симметрии вычисление приводится к первому октанту, так что

(б) Аналогично,

Вычисляя внутренний интеграл по , положим

и окончательно

2) Вычислить интеграл

где есть поверхность, отсекаемая от верхней части конуса цилиндром

Решение. Переписав уравнение поверхности в виде имеем и по формуле (5)

где (D) есть круг, ограниченный окружностью на плоскости Переходя к полярным координатам, найдем

3) Вывести формулу (принадлежащую Пуассону):

есть непрерывная функция для

Решение. Обозначим интеграл слева через Р; его легко представить в виде поверхностного интеграла

распространенного на сферу описанную вокруг начала радиусом 1.

Рис. 94.

Переходя к новой системе координат возьмем за плоскость именно плоскость и направим ось и перпендикулярно к ней (рис. 94); тогда

В координатах тот же интеграл напишется так:

Если параметрическое представление сферы взять в виде

то и окончательно

Полагая , часто пишут формулу Пуассона в виде

4) Пусть вдоль поверхности распределена масса с плотностью Найти выражения в виде поверхностных интегралов, распространенных на общего количества массы; статических моментов и моментов инерции ее относительно координатных плоскостей; (в) координат центра тяжести массы.

5) Найти массу поверхности сферы, если ее поверхностная плотность в каждой точке равна (а) расстоянию этой точки от вертикального диаметра, квадрату этого расстояния.

(а) Решение. Взяв за начало координат центр сферы и направив ось по вертикали, перейдем к сферическим координатам , полагая

где — радиус сферы. Тогда

так что

(б) Ответ:

6) При тех же предположениях (а) и относительно распределения масс найти положение центра тяжести верхней полусферы.

(а) Решение. Если выбрать оси, как и только что, то по соображениям симметрии сразу ясно, что

Вычислим статический момент:

Мы уже знаем [см. задачу 5)] полную величину массы: значит,

(б) Ответ. При том же расположении осей

7) Найти (а) положение центра тяжести однородной (р = const) конической поверхности

(б) ее моменты инерции относительно координатных плоскостей. Решение, (а) Очевидно, Далее, имеем

и, следовательно,

Так как

Аналогично

8) Дан прямой круговой цилиндр радиуса и высоты . Предполагая его боковую поверхность однородной найти (а) притяжение, испытываемое со стороны поверхности центром основания, потенциал этой поверхности на центр основания.

Решение, (а) Если принять центр основания за начало координат, а ось цилиндра — за ось то, очевидно, . Представив цилиндр параметрически:

имеем так что

(б) Имеем

9) Для конической поверхности задачи 7) найти (а) потенциал этой поверхности на центр основания конуса и на его вершину, а также (в) притяжение, испытываемое центром основания и вершиной конуса.

(кликните для просмотра скана)

10) Предполагая, что плотность масс, распределенных по поверхности конуса, равна расстоянию точки до вершины, найти (а) потенциал поверхности на вершину, (б) притяжение, испытываемое вершиной со стороны поверхности.

Ответ,

11) Найти силу притяжения точки однородным сферическим слоем.

Решение. Пусть центр сферы лежит в начале координат, а притягиваемая точка (массы 1) находится на положительной оси на расстоянии а от центра. Проекции силы притяжения на оси очевидно, равны нулю. Далее, имеем

(r — расстояние между точкой А и произвольной точкой М сферы). Если перейти к сферическим координатам:

то

и

Подстановкой преобразуем это выражение

Рассмотрим теперь два предположения.

(1) Пусть в таком случае в квадратных скобках стоит нуль и

Итак, точка, находящаяся в ну три однородного сферического слоя, не испытывает со стороны последнего никакого притяжения.

(2) Если же то так что

Поэтому точка, находящаяся вне однородного сферического слоя, испытывает со стороны последнего такое же притяжение, какое испытывала бы, если сосредоточить всю массу слоя в его центре.

Остановимся особо на случае . В этом случае точка А лежит на сфере, и интеграл (11) становится несобственным. После очевидных упрощений он принимает вид

При приближении а к со стороны меньших или больших значений имеет предельные значения, соответственно, Таким образом, притяжение испытывает разрыв непрерывности при прохождении притягиваемой точки через поверхность сферы, причем величина притяжения для точки на сфере есть среднее арифметическое упомянутых предельных значений.

12) Найти потенциал однородного сферического слоя на произвольно взятую точку.

Решение. При прежних обозначениях имеем

Если

так что внутри однородного сферического слоя его потенциал постоянен. Напротив, при будет

т. е. потенциал, созданный сферическим слоем во внешнем пространстве, не изменится, если всю массу его сосредоточить в центре.

Для случая несобственный интеграл, выражающий потенциал, имеет значение

Как видим, при переходе точки через сферическую поверхность потенциал сохраняет непрерывность.