632. Механические приложения поверхностных интегралов первого типа.

1°. С помощью названных интегралов можно определять массы, моменты, координаты центров тяжести и т. величины для материальных поверхностей, вдоль которых распределены массы с определенной в каждой точке поверхностной плотностью.

Так как здесь нет ничего нового по сравнению со случаем плоского распределения масс, рассмотренным выше, то мы остановимся на этих вопросах только в упражнениях.

2°. Притяжение простого слоя. Поверхностные интегралы первого типа естественно входят в рассмотрение при изучении притяжения масс, распределенных на поверхности.

Пусть по поверхности непрерывным образом распределены массы с заданной в каждой точке поверхности плотностью . Пусть, далее, в точке А (вне поверхности) находится единица массы. Требуется определить, с какой по величине и по направлению силой притягивается точка А поверхностью если в основу положен ньютонов закон притяжения (закон всемирного тяготения).

Если бы точка А притягивалась одной лишь материальной точкой с сосредоточенной в ней массой то величина силы притяжения была бы равна

где есть расстояние , т. е.

Так как эта сила направлена от А к М, то ее направляющие косинусы будут

и, следовательно, проекции силы притяжения на оси координат выразятся так:

В случае системы притягивающих материальных точек эти выражения заменились бы суммами подобных выражений; наконец, при непрерывном распределении масс по поверхности появятся вместо сумм интегралы.

Применяя обычный прием изложения, можно было бы рассмотреть элемент поверхности с массой как бы сосредоточенной в одной из его точек . Оказываемое им на точку А притяжение будет иметь проекции на оси [ср. (7)]:

где означает расстояние выражаемое формулой (6). Теперь остается лишь «просуммировать» эти выражения, что приведет к следующим формулам для проекций силы притяжения простого слоя на осн:

Этим сила определена полностью как по величине, так и по направлению.

Если бы притягиваемая точка А и сама лежала на поверхности то проекции притяжения на оси по-прежнему выражались бы интегралами (8), но на этот раз интегралы эти были бы несобственными, поскольку вблизи точки А подинтегральные функции все перестают быть ограниченными.

3°. Потенциал простого слоя. В случае одной притягивающей точки , как мы видели, проекции притягивающей силы на оси имеют выражения (7). Легко усмотреть, что эти проекции являются частными производными по и С от функции

которая называется ньютоновским потенциалом на точку А поля точки М. [Ср. 566, 1).]

В случае поля, созданного системой материальных точек, потенциал выразился бы суммой дробей этого вида, причем производные потенциала по по-прежнему давали бы проекции силы притяжения на оси.

Отсюда естественно приходим к такому выражению для потенциала простого слоя, расположенного по поверхности с плотностью , на точку А:

Возникает лишь вопрос, сохраняется ли для этого потенциала фундаментальное свойство:

где суть проекции силы притяжения простого слоя на оси и определяются формулами (8).

Если точка А не лежит на поверхности, так что никаких нарушений непрерывности нет, то легко показать, что к интегралу (9) при дифференцировании его по или С применимо правило Лейбница (для этого понадобилось бы лишь повторение уже знакомых нам рассуждений). Таким путем оправдываются и для рассматриваемого случая распределения масс соотношения (10).