Симметричная матрица с рангом единица

41. Результаты предыдущего параграфа могут быть применены для оценки собственных значений матрицы

где симметричные и ранг В равен единице. В этом случае существует ортогональная матрица В такая, что

где единственное отличное от нуля собственное значение матрицы В. Если мы обозначим

то существует ортогональная матрица порядка такая, что

Если мы определим далее соотношением

то ортогональна и

где Собственные значения поэтому совпадают с собственными значениями

если мы расположим эти собственные значения в убывающем порядке, то они будут удовлетворять соотношениям

Следовательно, если мы добавим В к А, то все собственные значения А изменятся на величины, лежащие между нулем и собственным значением матрицы В.

Кроме того, из замечания в конце § 39 и из преобразования, данного в (41.7), очевидно, следует, что собственные значения главного минора матрицы А разделяют собственные значения А по крайней мере в слабом смысле. Если А имеет собственное значение кратности , то должна иметь собственное значение кратности , к или к