Классическая техника

39. Для исследования собственных значений суммы двух симметричных матриц существует весьма эффективная техника, основанная на принципе минимакса. Частично с целью продемонстрировать ее силу, мы начинаем с анализа, основанного на более классических методах.

Сначала выведем простой результат для окаймленных диагональных матриц. Пусть симметричная матрица X имеет вид

где вектор размерности. Мы хотим найти соотношения между собственными значениями X и числами

Предположим, что лишь компонент а не нули; если — нуль, то собственное значение Подходящим выбором матрицы перестановки затрагивающей лишь последние строк, можем получить матрицу У такую, что

где компоненты не равны нулю, порядка порядка вместе составляют перестановку Заметим, что некоторые могут быть кратными собственными значениями

Поэтому собственными значениями X будут а также собственные значения матрицы вида

Если то состоит из единственного элемента а и, следовательно, собственные значения X совпадают с собственными значениями и величиной а. В противном случае рассмотрим характеристический полином который равен

Предположим, что только значений из различны, и обозначим их а их кратности соответственно, так что

(Может случиться, конечно, что и все простые.) Тогда ясно, что левая часть (39.4) имеет множитель

так что является собственным значением кратности

Поделив (39.4) на видим, что остальные собственные значения являются корнями уравнения

где каждый коэффициент это сумма величин связанных с и поэтому строго положителен. График дан на рис. 1, где мы расположили различные в убывающем порядке.

Рис. 1.

Очевидно, что корней уравнения которые мы обозначим удовлетворяют соотношениям

Поэтому собственных значений X распадаются на три множества:

(i) Собственные значения соответствующие нулевым Они равны числам из .

(ii) собственных значений, состоящих из величин, равных Они равны еще числам из .

(iii) собственных значений, равных удовлетворяющих соотношению (39.8). Если то

Заметим, что одно или оба множества могут быть пустыми. В любом случае элементы этих множеств не зависят от а. Если собственные значения X обозначить и расположить в невозрастающем порядке, то, если также расположены в невозрастающем порядке, немедленно следует, что

Другими словами, а разделяют по крайней мере в слабом смысле.

40. Рассмотрим теперь собственные значения матрицы X, полученной из X заменой а на а. Собственные значения из множеств (i) и (ii) для совпадают. Обозначим собственные значения X из множества (iii)

Далее, для положительных X имеем

и, следовательно, каждая разность 6- — 8,- лежит между и (см. рис. 1). Мы можем поэтому положить

где

Если

Следовательно, можем написать во всех случаях

где

Так как другие собственные значения равны, можно сказать, что мы установили соответствие между собственными значениями которые переименовали в так что

причем, очевидно, для собственных значений из множеств

Более того, если соотношения (40.7) выполняются при некотором порядке расположения то они тем более выполняются, если как так и расположены в невозрастающем порядке.