Примечания

1 (к § 10.1). Под «приемом в целом» в этой главе, как обычно, понимается метод приёма, в котором решающая схема анализирует целиком отрезок сигнала, соответствующий кодовой комбинации. Иногда говорят о приёме в целом, понимая под этим анализ сигнала, соответствующего всему передаваемому сообщению. Легко показать, что если любая последовательность кодовых комбинаций в этом сигнале имеет одинаковую априорную вероятность, то такой приём всего сигнала не имеет никаких преимуществ перед приёмом в целом отдельных комбинаций, аналогично тому, как в коде без избыточности (когда все последовательности символов допустимы и равновероятны) приём в целом не имеет преимуществ перед поэлементным приёмом.

В действительности для многих источников не все последовательности кодовых комбинаций равновероятны. Это является следствием избыточности алфавита источника. Однако эту избыточность обычно трудно использовать для повышения вероятности приёма. Заметим, что для канала с памятью, в котором величины  коррелированы, если к тому же не выполнено условие (10.17), приём в целом может иметь преимущество перед поэлементным приёмом, даже при примитивном кодировании.

2 (к § 10.2 и 10.3). Основная трудность при реализации приёма в целом и приближающихся к нему методов приёма заключается в необходимости запоминать непрерывные (континуальные) величины  получаемые при обработке отдельных элементов сигнала либо их суммы. Для этого нужны аналоговые запоминающие устройства (например, сумматоры на рис. 10.2 и 10.3), которые труднее выполнить, чем дискретные, используемые при поэлементном приёме. Эта задача упрощается, если приём в целом применяется для сигналов с параллельным кодированием (см. §9.6), так как в этом случае результаты демодуляции  вырабатываются одновременно и их не приходится длительно хранить.

Заметим, что сложные (широкополосные) сигналы, о которых говорилось в гл. 7 и 8, можно также рассматривать как результат последовательного или параллельного кодирования наиболее избыточным кодом , считая одну из составляющих информационным элементом, а все остальные – проверочными. При таком подходе [13] различные методы приёма таких сигналов сводятся также к оптимальному когерентному приёму в целом, некогерентному приёму в целом (с когерентным или некогерентным накоплением) и к поэлементному приёму. Такая же точка зрения возможна и при исследовании разнесённого приёма [14]. При этом оптимальное когерентное сложение представляет собой не что иное, как когерентный приём в целом, квадратичное сложено - некогерентный приём в целом с некогерентным накоплением, метод выбора при разнесённом приёме оказывается частным случаем декодирования по наиболее надёжным символам, а метод дискретного сложения является поэлементным приёмом с исправлением ошибок. Такой единый подход к различным проблемам приёма сигналов очень полезен, так как он позволяет непосредственно применить результаты, полученные в области, для решения многих других задач. Кроме того он наводит на мысль о возможности применения некоторых методов (главным образом субоптимальных), разработанных для какого-либо одного случая (например, для разнесённого приёма) к построению новых систем в других областях (например, при уплотнении и объединении каналов и т.д.).

3 (к § 10.4). Первое неравенство в (10.27) очевидно. Остановимся на доказательстве второго неравенства.

Рассмотрим все образцы не обнаруживаемых ошибок. Для того чтобы при приёме в целом произошла ошибка (событие ) необходимо и достаточно, чтобы для символов, соответствующих единицам в одном из этих образцов, было выполнено неравенство (10.21). Обозначим через   событие, заключающееся в том, что для -ого образца не обнаруживаемой ошибки (10.21) выполнено. Тогда  эквивалентно осуществлению хотя бы одного из событий .

Если некоторый -й образец является суммой -го и -го образцов не обнаруживаемой ошибки, то событие может произойти только в случае, когда имеет место хотя бы одно из событий,  или . Отсюда следует, что для события  необходимо и достаточно, чтобы осуществилось хотя бы одно из  событий , относящихся к образцам ошибки, не представимым в виде суммы других образцов. Поскольку вероятность каждого из событий не больше, чем , то

что и требовалось доказать.

4 (к § 10.7). Приведём вывод правила (10.46) для кода, допускающего мажоритарное декодирование по системе разделённых проверок (10.45) и (10.45а). Будем полагать, что символам  соответствуют результаты демодуляции , которые взаимно независимы и пропорциональны логарифму отношения правдоподобия при поэлементном приёме:

                 (10.59)

где  - коэффициент пропорциональности;  - принимаемый элемент сигнала, соответствующий символу . Заметим, что во всякой оптимальной схеме поэлементного приёма двоичных сигналов результаты демодуляции если не выражаются формулой (10.59), то во всяком случае являются монотонными обратимыми функциями отношения правдоподобия. Поэтому их можно преобразовать в величины , представляемые этой формулой.

Найдём отношение правдоподобие для символа , предполагая известными  и все , соответствующие символам в правых частях системы (10.45). При этом будем считать, что символы  могут принимать значения 0 или 1 , с тем единственным ограничением, что уравнения (10.45) при заданном  должны выполняться. Это значит, что при  среди , входящих в одно уравнение, должно быть чётное число единиц (или ни одной единицы), а при  - нечётное число единиц.

Отношения правдоподобия для  при этих условиях равно

                         (10.60)

Плотности, входящие в произведение в правой части (10.60), зависят от неизвестных параметров . Используя обобщённый критерий максимального правдоподобия, заменим числитель и знаменатель (10.60) их максимальными значениями варьируя значениями символов  с учётом связей, налагаемых уравнениями (10.45), другими словами, будем полагать, что , если

Логарифмируя это неравенство, запишем правило решения в виде

                         (10.61)

Рассмотрим одно из слагаемых первой суммы

                        (10.61а)

Для отыскания максимума необходимо перебрать все возможные наборы значений , удовлетворяющие уравнениям (10.45), т.е. содержащие чётное число единиц. Если это условие выполнено и значения  фиксированы, то

Вводя вместо  величины  аналогично (10.6), точнее, полагая  при  и  при , можно переписать (10.61а) следующим образом:

где  и , а через  обозначено множество последовательностей  , содержащих чётное число отрицательных значений.

Аналогично могут быть представлены и слагаемые второй суммы в (10.61), с той лишь разницей, что максимизировать нужно по , где - множество последовательностей , содержащее нечётное число отрицательных значений.

Подставляя эти выражения в (10.61), а также учитывая (10.59), получим после очевидных преобразований следующее правило решения о том, что :

                           (10.62)

Отыщем теперь значения входящих в эту формулу максимумов. Предположим, что при некотором значении , т.е. для членов некоторого уравнения из системы (10.45), среди  имеется чётное число отрицательных. Тогда для того, чтобы максимизировать первую сумму (при ), достаточно положить все , соответствующие положительным  равными , а остальные  - равными .

В результате первый максимум окажется равным  При максимизации второй суммы (при ) не удаётся сделать положительными все , так как число отрицательных значений  в данном приёме чётное, а число отрицательных  должно быть нечётным. Очевидно, что при этих условиях максимум второй суммы будет иметь место, если в ней будет отрицательным один член, имеющий наименьшую абсолютную величину. Таким образом, максимум второй суммы будет равен , где - наименьшее значение модуля  при данном  и при  

Рассуждая аналогично для случая, когда среди  имеется нечётное число отрицательных, легко убедиться, что максимум первой суммы будет равен

 ,

а максимум второй суммы равен . Замечая также, что функция  принимает значение , если в произведение входит чётное число отрицательных сомножителей, и  в противоположном случае, можно представить выражение в квадратных скобках (10.62) в виде

                         (10.63)

Окончательно, правило решения о том, что , примет форму

что совпадает с (10.46).

Заметим в заключение, что при обычном поэлементном мажоритарном декодировании указанное правило можно записать в виде

Таким образом, сущность аналогового декодирования сводится к введению весовых коэффициентов  Другими словами, «вес» каждой из проверок (10.45) определяется наименьшим модулем логарифма отношения правдоподобия входящих в неё символов.