Системы МОФТ
В системах с многократной
относительной фазовой манипуляцией (МОФТ) информация содержится в разности фаз
между соседними элементами сигнала. Другими словами, они отличаются от МФТ
тем, что отсчет фазы каждого элемента производится не от постоянной «опорной
фазы», а от фазы предыдущего элемента сигнала. Разности фаз между соседними
элементами принимают
различных
значений. При
эти значения равны
, (9.49)
где
, а
— произвольная постоянная разность фаз,
которая в большинстве существующих систем равна нулю, но иногда отличается от
нуля, что используется для облегчения формирования сигнала, а также для
синхронизации [12]. Очевидно, что значение
не влияет на помехоустойчивость.
По сравнению с МФТ, системы МОФТ
имеют то преимущество, что при когерентном приеме они не столь чувствительны к
спонтанным перескокам фазы опорного напряжения. Последние вызывают при МФТ
«обратную работу», а также смещение передаваемой информации из одного
сообщения в другое, тогда как при МОФТ они вызывают в худшем случае одиночную
ошибку в каждом из сообщений. К тому же при МОФТ возможен и некогерентный
прием, когда опорное напряжение с фиксированной фазой вообще не нужно.
При когерентном приеме начальная
фаза переданной реализации сигнала отождествляется так же, как в системе МФТ,
а затем путем сравнения с фазой, определенной в предыдущем элементе, находится
переданная совокупность символов всех сообщений. Следовательно, как и в
системах МФТ, правила решения, основанные на минимизации
или
, оказываются эквивалентными.
Это верно и для некогерентного приема [13].
Вероятности ошибок при
когерентном приеме МОФТ можно оценить, пользуясь результатами, полученными выше
для МФТ. При этом нужно учитывать, что изолированная ошибка в определении фазы
приходящего сигнала вызывает две смежные ошибки при определении разности фаз
соседних элементов. В случае
смежных ошибок в определении фазы
сигнала, число ошибок в определении разностей фаз может принимать значение от 2
(если все погрешности в определении фазы совпадают по величине и знаку) до
, если погрешности в
определении фазы различны. Поэтому вероятность общей ошибки при когерентном
приеме МОФТ
можно
оценить неравенством
. (9.50)
При малых вероятностях ошибок,
когда подавляющее большинство ошибок в определении фазы изолировано, это
неравенство дает очень точную оценку. Поэтому при
в соответствии с (9.36)
, (9.51)
что совпадает с оценкой (4.109),
а при
в
соответствии с (9.37)
. (9.52)
Этими приближенными равенствами
можно поливаться только при
.
Несколько труднее получить оценки
для вероятностей ошибок
в отдельных сообщениях. Заметим, что
здесь нельзя подковаться непосредственно теми соображениями, на основании
которых была выведена формула (4.99) для двоичной ОФТ, как это допущено в [19].
Дело в том, что при ошибочном определении фазы принимаемого сигнала и
в
-м сообщении
возникает, как правило, одиночная ошибка. В следующем же элементе сигнала
возникает ошибка при определении символа другого сообщения. В этом легко убедиться,
рассматривая, например, табл. 9.1 для кода Грея при
. Для системы МОФТ значения
в первом столбце
следует понимать как разность фаз соседних элементов. Пусть, например,
передается совокупность символов 0011, которой соответствует разность фаз
. Если фаза
принимаемого элемента определена с погрешностью
, то разность фаз будет оценена как
, чему соответствует
совокупность символов 0010, т. е. возникнет ошибка в 4-м сообщении. Пусть вслед
за этим передаются символы 0101, чему соответствует разность фаз
. Если фаза
приходящего сигнала определена верно, то разность фаз будет принята как
поскольку фаза
предыдущего элемента была завышена на
. Это значит, что вместо символов 0101
будут приняты 0111, т. е. ошибка
произойдет в 3-м сообщении. Тем не менее в случае использования кода Грея и
достаточно высокой верности ошибка в отождествлении переданного сигнала
приводит, как правило, к ошибочному определению двух символов, хотя они могут
относиться и к различным сообщениям. Следовательно,
.
Переходим к рассмотрению
оптимального некогерентного приема сигналов МОФТ. Как было показано в §4.6, для
построения решающей схемы следует рассматривать сигналы с относительной фазовой
манипуляцией на интервале
.
Тогда каждой совокупности символов соответствует одна из двух реализаций сигнала,
в которых начальная фаза случайна.
Реализация «элемента» сигнала
МОФТ представляет собой
(9.53)
где
— разность фаз, несущая
информацию о передаваемой совокупности символов и принимающая значения
— произвольный постоянный сдвиг фазы,
равный для большинства используемых систем нулю либо
;
— случайная начальная фаза.
Для минимизации
остается
справедливым общее правило решения при некогерентном приеме (4.28) и вытекающие
из него решающие схемы. Так как МОФТ является системой с активной паузой, а под
элементом сигнала здесь следует понимать отрезок длительностью
, решающая схема
должна выбирать реализацию
, если
(9.54)
Преобразуем входящие сюда
выражения:
.
Будем полагать, что
, где
— целое число, Тогда
где
и
—
коэффициенты разложения
в ряд Фурье на
интервале
соответственно
при
и
.
Аналогично,
,
где
и
— такие же
коэффициенты ряда Фурье для
на интервале
.
Таким образом, правило решения
(9.54) можно записать в следующей форме:
что после раскрытия скобок и
приведения подобных членов даст
(9.55)
Обозначим через
случайную величину:
. (9.56)
Правило (9.55) можно представить
так:
,
или
,
или, учитывая, что
и
не превышают
,
. (9.57)
что по форме совпадает с (9.32), хотя
входящие сюда величины имеют другой смысл. Заметим, что математическое
ожидание
равно
передаваемой разности фаз
.
Как уже отмечалось в § 4.6, для
приема сигналов ОФ'Г можно использовать обычные для оптимального некогерентного
приема решающие схемы, например квадратурную, с согласованными фильтрами и детекторами
огибающей и др. То же относится и к МОФТ. Однако здесь возможны и другие
решающие схемы, в которых принимаются раздельные решения для
сообщений. Так, в
[14] предложена решающая схема, основанная на алгоритме (9.57) для любой
кратности уплотнения, при условии применения кода Грэя.
Как легко видеть, при коде Грэя
из (9.57) следует, что символ «0» в 1-м сообщении регистрируется, если
, во 2-м сообщении — если
, в 3-м сообщении
— если
, в
4-м сообщении — если
; вообще в
-м сообщении (
) регистрируется «0», если
. Другими словами, в 1-м сообщении «0»
регистрируется, если
, а в остальных сообщениях — если
.
Это позволяет построить решающую
схему рис. 9.11. Принимаемый сигнал проходит через фильтр СФ согласованный с
отрезком синусоиды частотой
и длительностью
. В моменты отсчета, кратные
, синусная и
косинусная составляющие выходного напряжения этого фильтра кратны
и
. Это напряжение сдвигается по фазе на
и перемножается с
таким же напряжением, задержанным на время
. После интегрирования получается
напряжение, пропорциональное, как легко видеть,
, т. е. совпадающее по знаку с
. На втором перемножителе производится
та же операция без поворота фазы, т. е. получается напряжение, совпадающее по
знаку с
. На
каждый последующий перемножитель прямое и задержанное напряжения поступают
после умножения частоты на 2. Таким образом, определяются знаки величин
, по которым
принимаются решения для всех сообщений.
Укажем еще одну решающую схему
для ДОФТ (
),
впервые использованную в системе МС-1 [9].
Рис.
9.11. Автокорреляционная решающая схема для сообщений в системе МОФТ.
Пусть символам 00 соответствует
, символам 01 —
, символам 11—
и символам 10 —
. Подставив эти
значения
в
(9.55), получим, что символы 00 должны регистрироваться, если
;
символы 01 — если
;
символы 11 — если
;
символы 10 — если
.
Из этих неравенств легко
заметить, что в 1-м сообщении символ «0» должен регистрироваться, если
, (9.58)
а во втором сообщении — если
. (9.59)
На основании этого алгоритма
построена квадратурная решающая схема рис. 9.12 [9], которая не нуждается в
дальнейших пояснениях. Заметим лишь, что одним из ее достоинств является то,
что запоминающее устройство должно «помнить» только величину постоянного напряжения,
в отличие от линий задержки в схеме рис. 9.11 и других автокорреляционных
схемах, где запоминается фаза переменного напряжения.
Рис.
9.12. Квадратурная (корреляционная) схема приема сигналов ДОФТ:
ЗУ — запоминающее устройство на время
;
— сумматор; -1 — инвертор полярности.
Определение вероятностей ошибок
при некогерентном приеме начнем с системы ДОФТ. Оценка общей вероятности
ошибок
для этой системы была
получена в (4.111).
Пусть символы 00 передаются
разностью фаз
,
символы 01 —
,
символы 11 —
и
символы 10 —
.
Тогда правило (9.57) можно представить в следующей форме: символ «0» в 1-м
сообщении регистрируется, если
, а во 2-м сообщении — если
. На основании (9.56)
правило регистрации символа «0» в 1-м сообщении можно записать и так:
. (9.60)
Для вычисления вероятности ошибки
в первом сообщении следует найти вероятность нарушения неравенства (9.60) при
условии, что передавалась разность фаз
либо
. Обозначим через
вероятность того, что
неравенство (9.60) не будет выполнено, если передавалась разность фаз
. В работе [11] путем
исследования распределения вероятностей квадратичной формы (9.60) показано, что
при отсутствии замираний
, (9.61)
где
— Q-функция
(4.53). Подробный вывод формулы (9.61) изложен в монографии [9].
Символ «0» в 1-м сообщении может
передаваться разностями фаз
или
. Поскольку
,
вероятность ошибки в первом
сообщении ДОФТ при передаче символа «0» равна
. (9.62)
Из соображений симметрии ясно,
что такова же будет вероятность ошибки при передаче символа «1», а также, что
.
Для той же системы при медленных
релеевских замираниях
. (9.63)
Эта формула может быть получена
путем усреднения (9.62) по релеевской случайной величине
либо путем исследования квадратичной формы (9.60).
Достаточно просто вычисляются
вероятности ошибок в первом и втором сообщениях трехкратной системы при использовании
кода Грэя. Пусть
т.
е.
принимает
значения
.
При этом символу “0” в первом сообщении соответствуют разности фаз от
до
. Такое решение
согласно (9.57) должно приниматься, если
, что опять приводит к правилу (9.60).
Но вероятность нарушения неравенства (9.60) теперь зависит от того, какая из
указанных четырех разностей фаз передавалась, т. е. от символов других
сообщений. Средняя вероятность ошибки в 1-м сообщении равна
(9.64)
Нетрудно убедиться, что такова же
будет вероятность ошибки
во втором сообщении. Что же касается
третьего сообщения, то для него вероятность ошибки
, как и при когерентном приеме, больше, чем
и
. Общие методы
вычисления
, а также вероятностей ошибок
в
различных сообщениях системы МОФТ при
изложены в [11], однако,
по-видимому, эти расчеты
до численных результатов никем не были доведены.
На рис. 9.13, заимствованном из
[9], представлены зависимости средней вероятности ошибок
при оптимальных когерентном
и некогерентном приеме в системах ЛЮФТ, вычисленные по приведенным формулам для
канала без замираний. Здесь отчетливо видно, что с увеличением кратности
уплотнения вероятность ошибки существенно возрастает, а также увеличивается
энергетический выигрыш когерентного приема по сравнению с некогерентным. Этот
выигрыш, едва заметный при
, быстро возрастает с увеличением
до 2 раз по мощности.
Рис.
9.13. Средние вероятности ошибок в сообщениях системы МОФТ при когерентном
(сплошные линии) и некогерентном (пунктир) приеме.
При увеличении скорости замираний
вероятность ошибок в системах МОФТ возрастает и так же, как в однократной
системе ОФТ, не стремится к нулю с увеличением
.
Зависимость вероятностей ошибок от скорости замираний может быть найдена методами,
описанными в гл. 5. Результаты изложены в работах [9, 11, 15, 16]. В работе
[15] исследована помехоустойчивость системы ДОФТ при разнесенном приеме.