1.1. Тензорные стохастические разностные уравнения
Рассмотрим представление изменяющихся
в дискретном времени СП на многомерных сетках с помощью тензорных уравнений
состояния [11, 12]. Такое представление можно характеризовать как обобщение
известных динамических моделей [19-21], составляющих фундамент современной
теории калмановской фильтрации векторных случайных последовательностей.
Проанализируем вначале описание последовательности изменяющихся кадров
многомерных изображений с помощью наиболее простого по структуре линейного
тензорного стохастического разностного уравнения:
, (1.1)
где
- СП независимых гауссовских случайных
величин с нулевыми средними и единичными диспесиями;
и
- тензоры ранга 2n с двумя групповыми индексами
и
;
- ограниченные области n-мерного пространства
-точек с целочисленными
координатами. Заметим, что в соответствии с правилами умножения тензоров [22]
,
т.е. производится суммирование по
одинаковым нижним индексам. При этом верхний индекс t соответствует дискретному времени и означает номер сечения
(кадра) СП; суммирование по нему не производится.
Рекуррентное соотношение (1.1)
определяет, вообще говоря, неоднородное и нестационарное гауссовское марковское
СП на прямом произведении
. При этом свойство марковости СП
устанавливается
относительно сечения Гt0=
, разделяющего СП на
“прошлое”
и
будущее
.
Действительно, условные плотности распределения вероятностей вероятностей
(ПРВ) с учетом (1.1) могут быть записаны в виде
, что и устанавливает марковость СП
относительно граничных значений 
.
При заданных тензорах
и внутрикадровых
ковариациях
начального
кадра модель (1.1) полностью определяет в дискретном времени СП на n-мерной сетке
. Для того, чтобы убедиться в
этом умножим левую и правую части (1.1) на
и найдем математические ожидания. После
выполнения элементарных операций получим рекуррентную связь между тензорами
внутрикадровых ковариаций
и
в виде:
(1.2)
Аналогично, после умножения (1.1) на
, находим следующее
соотношение
(1.3)
для определения тензоров
межкадровых
ковариаций.
В стационарном случае, когда
,
, все корни
характеристического уравнения
лежат внутри единичного круга и
соответствующим образом выбран тензор
начальных условий, модель (1.1) порождает
СП с постоянными значениями
и
. При этом тензор внутрикадровых ковариаций
может быть
найден с помощью формулы (1.2), которая преобразуется в систему линейных
уравнений
.
(1.4)
После решения этой системы
относительно
легко
находится тензор внутрикадровых ковариаций:
.
Таким образом, при заданных
параметрах модели (1.1) можно с помощью приведенных соотношений
решить задачу анализа,
т.е. задачи нахождения вероятностных характеристик гауссовского марковского СП
.
Рассмотрим теперь решение
задачи синтеза модели (1.1), т.е. задачу нахождения тензоров
и
при заданных тензорах
внутрикадровых
и
межкадровых
ковариаций.
В этом случае (1.3) представляет собой систему линейных уравнений относительно
неизвестных элементов тензора
. После решения этой системы каждый тензор
может быть найден с
помощью представления симметричного тензора (1.2) в виде произведения
на основе, например,
ортогонализации Грама-Шмидта.
Рассмотрим некоторые
частные, но важные для приложений случаи СП, порождаемых уравнением (1.1).
Предположим, что стационарное СП имеет ковариационную функцию (КФ) следующего
вида
, (1.5)
где
– коэффициент корреляции между
соответствующими элементами
и
двух соседних кадров СП. В этом случае
и уравнение (1.1)
перепишется в виде
. (1.6)
Анализ (1.6) показывает, что
очередной кадр СП
формируется
на основе суммирования предыдущего кадра
и возмущающего поля случайных величин
. При этом КФ
возмущающего поля
с
точностью до множителя
совпадает с внутрикадровыми корреляциями
СП
. Таким
образом, для решения задачи синтеза модели (1.6) достаточно найти коэффициенты
линейной комбинации
, обеспечивающие
равенство КФ случайных полей
и
.
Обобщением рассмотренной
тензорной модели (1.1) служит нелинейное стохастическое разностное уравнение
, (1.7)
позволяющее описать весьма широкий
класс марковских негауссовских СП на n-мерных сетках
.
Здесь
, поле
независимых, вообще говоря, негауссовских случайных величин с известными ПРВ
;
и
- тензоры рангов n и 2n
соответственно, в общем случае нелинейно зависящие от значений
(t-1) - го кадра многомерного СП
. При известном
распределении
первого
кадра СП может быть записано совместное распределение
, где условные ПРВ
, находятся с учетом
(1.7) и обычных правил функционального преобразования
системы случайных величин
с известным распределением.
К сожалению, попытки найти
решение задачи синтеза модели (1.7) т.е. построения нелинейных функций
и
по заданным распределениям
вероятностей
,
приводят к положительным результатам лишь в отдельных частных случаях [11,12].