Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1.3. Авторегрессионные моделиОстановимся вначале на основных вероятностных характеристиках многомерных авторегрессионных моделей СП. Этот класс СП порождается линейными стохастическими разностными уравнениями следующего вида:
где Наиболее часто в качестве
порождающего поля Задача анализа моделей (1.21) в общем виде рассматривалась в [23, 64]. Модели (1.21) соответствует пространственный линейный фильтр с передаточной функцией
где
где Корреляционная функция
поля
где Как показано в работах
[46, 51, 52], анализ вероятностных свойств СП сильно упрощается, если их
спектральная плотность может быть факторизована. Такие «разделимые» СП, со
спектральной плотностью К недостаткам таких
моделей следует отнести невозможность описания с их помощью изотропных СП,
например, с КФ В работе [46] для
получения близких к изотропным СП предложено выбирать одномерные фильтры с
кратными корнями характеристических уравнений: В настоящей главе решаются задачи синтеза модели N-мерного СП с кратными корнями характеристических уравнений одномерных фильтров и анализа ее вероятностных свойств. Решим сначала эти задачи для одномерной модели. Рассмотрим одномерную
авторегрессию длины
Здесь В случае с кратными корнями это уравнение можно записать в операторной форме следующим образом:
где
Сравнение (1.26) и (1.27)
дает возможность записать выражение для коэффициентов
Значение неизвестного
параметра Одной из задач
статистического анализа модели, является получение ее КФ. Найдем вначале
нормированную КФ, т.е. будем полагать
Так как подынтегральная
функция имеет в точке
Используя правила дифференцирования произведения функций, после предельного перехода получаем
где
а коэффициент
Формулы (1.29) – (1.31)
дают, при заданных
Формулы (1.28) и (1.32) полностью определяют неизвестные коэффициенты одномерной АР-модели (1.25) с кратными корнями характеристических уравнений. Рассмотрим теперь случай Пусть многомерное разделимое СП порождается следующими АР-уравнениями, записанными в операторной форме:
где Определим коэффициенты авторегрессии для многомерной модели с кратными корнями. Для этого раскроем в (1.33) скобки:
Шаблон коэффициентов модели
где
где Таким образом, выражение (1.34) дает общий вид АР‑модели многомерного разделимого гауссовского СП, а формулы (1.35) и (1.36) полностью определяют ее коэффициенты, т.е. задача синтеза модели решена. КФ модели (1.34), как уже отмечалось, является произведением КФ соответствующих одномерных авторегрессий:
Для того, чтобы корни
характеристического уравнения были действительными, необходимо, чтобы параметр Рассмотрим некоторые
примеры. Хорошо изученная трехточечная модель Хабиби (1.5) является частным
случаем 2‑мерной модели (1.34) кратности (1,1), причем значение параметра
Для 2‑мерной модели кратности (2,2) КФ записывается более сложно:
и также совпадает с (1.11), приведенной в первой главе. Вид коэффициентов, согласно (1.10), и рассчитанный по формулам (1.35), (1.36), также одинаков. На на рис. 2.1, 2.2 и .2.3
приведены кадры изображений размера 600х400 элементов на основе моделей с
кратными корнями при различных наборах параметров (первый параметр относится к
оси
Проведем оценку вычислительной сложности предложенной модели.
Для получения реализации
Полезный во многих приложениях вариант модели
многомерного СП можно получить, взяв за основу одномерную авторегрессию с
кратными корнями. Пусть необходимо сформировать реализации Найдем КФ данной модели.
Домножим (1.38) на Здесь где
Анализ КФ моделей с кратными корнями показывает, что сечения КФ СП, полученных с помощью разделимых многомерных моделей, с ростом кратности корней характеристических уравнений приближаются к гиперэллипсоидам. Для оценки приближенности таких СП к изотропным желательно иметь количественную оценку анизотропии поля. Для этого можно воспользоваться известным коэффициентом анизотропии двумерного СП [81]: где Коэффициент A имеет смысл
среднеквадратического расстояния между Поэтому представляется
целесообразным характеризовать анизотропность многомерного СП на основе
корреляционного расстояния где где Достоинствами
предложенного коэффициента анизотропии является необходимость знания только КФ
поля, и а также возможность его вычисления с применением стандартных численных
методов. Значения Анализ показывает, что
значения коэффициента, близкие к нулю, говорят о высокой степени изотропности
поля. Из приведенной таблицы видно, что с увеличением кратности корней модели,
при условии соответствующего подбора параметров Таблица 2.1
Преимуществами данной методики оценки изотропности СП являются относительная простота вычисления, а также возможность ее применения на разнообразных выборках реальных данных. На этапе применения описанных моделей к обработке реальных данных возникает задача идентификации параметров. Идентификация одномерных АР-моделей в общем случае описана в литературе, например в [6]. Будем исходить из предположения, что задано многомерное СП, являющееся реализацией некоторой разделимой АР-модели. Ставится задача определения параметров этой модели. Рассмотрим предлагаемую
методику оценивания параметров в двумерном случае. При этом обобщение на СП
большей размерности принципиальных трудностей не вызывает. Пусть двумерное СП
где Домножим (1.43) на
и найдем математическое ожидание:
Полученное выражение
представляет собой систему Найдем коэффициенты
Система линейных
уравнений (1.44), (1.45) позволяет найти неизвестные коэффициенты Заметим, что для случая
Отметим, что для того, чтобы система (1.46), (1.47) имела решение, матрица системы должна быть неособенной. Рассмотрим теперь модель с кратными корнями для двумерного СП. В этом случае
и нам необходимо определить только
четыре параметра – Для идентификации моделей
с кратными корнями предлагается использовать двухэтапную процедуру, проводимую
независимо по каждой из осей. На первом этапе необходимо определить кратности
модели по всем осям. Решение задачи нахождения кратности, по существу, является
задачей определения порядка авторегрессии. Эта задача может быть решена на
основе методики определения порядка авторегрессии одномерной последовательности
[11]. Пусть имеется случайная последовательность
где В [11] показано, что,
если отсчеты На втором этапе процедуры
производится определение значения параметра Эксперименты показывают,
что описанная процедура идентификации обеспечивает приемлемую точность оценки
параметров. Так, для различных реализаций модели с кратными корнями ошибка
оценки параметра Таким образом, применив изложенную методику по каждой из осей, получим полностью идентифицированную многомерную модель СП с кратными корнями.
|
1 |
Оглавление
|