4.2. Помехоустойчивость демодулятора с линейным сложением выборок

В соответствии со структурной схемой демодулятора (см. рис.4.1,а) выходная статистика алгоритма

,             (4.9)

где

                                                                          (4.10)

Учитывая (4.5) и (4.7), выходные выборки КД огибающей  и  при , для канала «единица», в котором присутствует сигнал, и канала «нуль», где нет сигнала, можно представить в виде:

при наличии помехи

    (4.11)

                                    (4.12)

в отсутствие помехи

                                       (4.13)

                                                                                                                                                     (4.14)

В (4.11)-(4.14) обозначено:  и  - величины, характеризующие элементы символа 1,  - случайная фаза, равномерно распределенная на интервале ; .

Для определения СВО на бит PE при выходной статистике (4.9) целесообразно использовать характеристическую функцию  [10]

                                                                     (4.15)

где  - дискретная случайная величина, принимающая два значения (1 и 0),

                                                  (4.16)

Так как  являются независимыми, то определение функции  (4.15) сводится к нахождению -й степени характеристической функции любого из , причем математическое ожидание  определяется по независимым случайным величинам  и . При этом производится усреднение по случайной величине , используя то свойство, что характеристическая функция суммы случайных величин есть произведение характеристических функций отдельных случайных величин. Затем осуществляется усреднение по случайным величинам и случайной фазе .  Далее, разлагая в степенной ряд экспоненциальные функции, включающие  в показатели степени, в явном виде получим характеристическую функцию [10]

    (4.17)

где

         (4.18)

                                                                                                                           (4.19)

Плотность распределения вероятности выходной статистики  с использованием характеристической функции определяется путем обратного преобразования Фурье

                                                   (4.20)

Полученная таким образом плотность распределения вероятности  интегрируется по отрицательным значениям  для получения СВО на бит

                                                                                                                                                                                                                          (4.21)

Следуя указанным преобразованиям, в [10] показано, что СВО ни бит в общем виде может быть представлена формулой

                                            (4.22)

где    - коэффициенты разложения в элементарную дробь.

При  коэффициенты разложения  и  равны нулю для всех  и . При  коэффициенты разложения  имеют вид:

       (4.23)

Коэффициенты  при  определяются из выражения

  (4.24)

В (4.23) и (4.24) обозначено:  - символ Похгаммера,

               (4.25)

при

                                                                  (4.26)

где  - гамма-функция,

                                     (4.27)

          (4.28)

Выражение (4.22) для СВО на бит  является наиболее общим и справедливым для любого числа скачков частоты  в течении одного бита .

Если принять, что скачки частоты отсутствуют, то при  выражение приобретает вид:

   (4.29)

При преобразовании формулы (4.22) учтено, что при

Учитывая, что , СВО на бит  при

    (4.30)

Выражение (4.30) представляет собой СВО на бит для СРС с одним скачком частоты () на двоичный разряд в условиях воздействия шумовой помехи в части полосы и полностью соответствует полученной ранее зависимости СВО на бит (см. (2.37)).

Для случая малых собственных шумов приемного устройства СРС, когда , точное выражение для СВО на бит имеет вид [10]:

    (4.31)

где  для всех

для всех .

На основе приведенного анализа и полученных аналитических выражений можно построить графические зависимости СВО на бит  для различных исходных данных в условиях воздействия шумовой помехи в части полосы. Используя результаты [10], на рис.4.2-4.6 представлены графики СВО на бит  и оптимального значения  от обобщенных параметров СРС и станции помех.

На рис.4.2 приведены графики СВО на бит  как функции от части подавляемой помехой полосы (коэффициента ) при  и числе скачков частоты , отношение сигнал-помеха  выступает в качестве параметра.

Рис. 4.2.

Из графиков на рис.4.2 видно, что для каждого отношения  имеет место оптимальное значение , при котором СВО на бит  принимает максимальное значение.

Рис. 4.3.

Графики зависимости оптимального значения части подавляемой помехой полосы  от числа скачков частоты  при  (что соответствует  в отсутствие помех и ) приведены на рис.4.3, в качестве параметра используется отношение сигнал-помеха .

Из графиков видна сравнительно слабая зависимость   от , а для  оптимальное значение  остается практически постоянным для данного отношения.

Рис. 4.4.

На рис.4.4 изображены зависимости СВО на бит  вычисленные с помощью (4.22), как функции отношения сигнал-помеха ; при ,  и  в качестве параметра.

Особенностью этих графиков является то, что СВО на бит  повышается при увеличении  и постоянной энергии сигнала . Это объясняется повышением потерь при некогерентном линейном сложении элементов сигнала в сумматорах демодулятора. В связи с этим такой демодулятор не может быть рекомендован для использования в СРС с ППРЧ, в которой для зашиты от шумовой помехи в части полосы осуществляется частотное разнесение символов.

На рис.4.5 приведены графики зависимости СВО на бит  от отношения сигнал-шум  при, в качестве параметра выступает отношение сигнал-помеха . Здесь же штриховой линией изображен график зависимости СВО на бит  в отсутствие организованных помех.

Из графиков на рис.4.5 видны предельные возможности СРС с ППРЧ, в которой используется демодулятор с квадратичным детектором и линейным сложением выборок.

Рис. 4.5.

Рис. 4.6.

На рис.4.6 представлены графики зависимости СВО на бит  от отношения сигнал-помеха  при , ,  оптимальных шумовых помех в части полосы и  для шумовых широкополосных помех (ШШП).

Приведенные графики четко иллюстрируют неэффективность ШШП по сравнению с оптимальной помехой в значительной части диапазона отношений сигнал-помеха