Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ (УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА)§ 1. Общие представления о ковариантных формах уравнений движенияДвижение системы, состоящей из N материальных точек, в инерциальной системе отсчета, в соответствии со вторым законом Ньютона, описывается дифференциальными уравнениями
где силы Введем прямоугольную декартову систему координат и спроектируем уравнения (1) на оси этой системы; тогда система дифференциальных уравнений, определяющих изменение декартовых координат точек во времени, представится в виде
Если была бы выбрана не прямоугольная, а какая-либо косоугольная система прямолинейных координат, то дифференциальные уравнения в скалярной форме (в проекциях на оси) по-прежнему имели бы вид (2), но функции Разумеется, уравнения (1) можно заменить соответствующими скалярными соотношениями, выписанными в цилиндрических, сферических или каких-либо иных координатах (см. гл. I). Для этого достаточно выразить радиус-вектор До сих пор речь шла о преобразованиях координат, не зависящих от времени. Рассмотрим теперь переход от декартовой системы координат
где Если система
т. е. при таком преобразовании координат не изменился вид уравнения, но изменился лишь вид функций Предположим теперь, что «новая» подвижная система координат не является декартовой. Ограничимся пока простейшим случаем — одной материальной точкой. Пусть преобразование координат задано формулами
тогда
и
где Выражая в уравнениях (2) при
где Эти примеры поясняют понятие «ковариантная форма записи уравнений движения», взеденное в гл. II: форма записи уравнений называется ковариантной по отношению к некоторому семейству преобразований, если при любом преобразовании из этого семейства форма записи уравнений не меняется, а меняются лишь содержащиеся в этой записи функции от новых (преобразованных) координат, первых производных и времени. Если иметь в виду преобразования вида (4), то этому определению удовлетворяют уравнения движения в форме (7) с соответствующим общим выражением функций Далее в этой главе будет введена более удобная запись уравнений движения, ковариантная по отношению к произвольным точечным преобразованиям вида (4). Эта запись для системы из N точек будет содержать только Для того чтобы в удобной форме получить эти уравнения, представим себе, что мы выбрали некоторую произвольную систему координат, т. е. выбрали три независимых числа таких, что они однозначно определяют положение точки в пространстве. В этих координатах положения N точек определяются
т.е.
Назовем преобразование (8) стационарным, если все функции Дифференцируя выражения (8) с учетом того, что
или
Введем в рассмотрение два знака дифференциала, обозначая их буквами d и
Таким образом, в соответствии с формулой (8)
В случае, когда преобразование стационарно, формулы (10) и (12) совпадают. Для независимых переменных символы d и Хотя в системах, которые мы сейчас рассматриваем, Для упрощения записи условимся далее везде, где это не может вызвать недоразумений, в суммах вида
|
1 |
Оглавление
|